Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54131 / 14797
↖ ↑ ↗
← N 79.960367°
W 31.324768°		 ← 53.24 m → N 79.960367°
W 31.322021°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.959888°
W 31.324768°		 ← 53.25 m →
2 833 m²		 N 79.959888°
W 31.322021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412990570068359 y=0.112895965576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412990570068359 × 217)
    floor (0.412990570068359 × 131072)
    floor (54131.5)     		tx = 54131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112895965576172 × 217)
    floor (0.112895965576172 × 131072)
    floor (14797.5)     		ty = 14797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54131 / 14797 ti = "17/54131/14797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54131/14797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54131 ÷ 217
    54131 ÷ 131072     		x = 0.412986755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14797 ÷ 217
    14797 ÷ 131072     		y = 0.112892150878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412986755371094 × 2 - 1) × π
    -0.174026489257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.54672034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112892150878906 × 2 - 1) × π
    0.774215698242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.43227034982203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54672034} λ = -0.54672034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43227034982203))-π/2
    2×atan(11.3847000126898)-π/2
    2×1.48318400071612-π/2
    2.96636800143224-1.57079632675     		φ = 1.39557167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54672034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.324768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39557167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.960367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54131 KachelY 14797 -0.54672034 1.39557167 -31.324768 79.960367
    Oben rechts KachelX + 1 54132 KachelY 14797 -0.54667240 1.39557167 -31.322021 79.960367
    Unten links KachelX 54131 KachelY + 1 14798 -0.54672034 1.39556332 -31.324768 79.959888
    Unten rechts KachelX + 1 54132 KachelY + 1 14798 -0.54667240 1.39556332 -31.322021 79.959888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39557167-1.39556332) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dl = 53.1978500006456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39557167-1.39556332) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dr = 53.1978500006456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54672034--0.54667240) × cos(1.39557167) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174329358706137 × 6371000     		do = 53.2446733866358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54672034--0.54667240) × cos(1.39556332) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174337580839846 × 6371000     		du = 53.2471846379081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39557167)-sin(1.39556332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174329358706137-0.174337580839846)×R²
    abs(-0.54667240--0.54672034)×8.22213370832436e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.22213370832436e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.22213370832436e-06×40589641000000     		ar = 2832.56894475278m²