Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54130 / 14798
↖ ↑ ↗
← N 79.959888°
W 31.327515°		 ← 53.25 m → N 79.959888°
W 31.324768°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.959409°
W 31.327515°		 ← 53.25 m →
2 836 m²		 N 79.959409°
W 31.324768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412982940673828 y=0.112903594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412982940673828 × 217)
    floor (0.412982940673828 × 131072)
    floor (54130.5)     		tx = 54130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112903594970703 × 217)
    floor (0.112903594970703 × 131072)
    floor (14798.5)     		ty = 14798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54130 / 14798 ti = "17/54130/14798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54130/14798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54130 ÷ 217
    54130 ÷ 131072     		x = 0.412979125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14798 ÷ 217
    14798 ÷ 131072     		y = 0.112899780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412979125976562 × 2 - 1) × π
    -0.174041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54676828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112899780273438 × 2 - 1) × π
    0.774200439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43222241292241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54676828} λ = -0.54676828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43222241292241))-π/2
    2×atan(11.3841542785486)-π/2
    2×1.48317982221313-π/2
    2.96635964442626-1.57079632675     		φ = 1.39556332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54676828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.327515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39556332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.959888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54130 KachelY 14798 -0.54676828 1.39556332 -31.327515 79.959888
    Oben rechts KachelX + 1 54131 KachelY 14798 -0.54672034 1.39556332 -31.324768 79.959888
    Unten links KachelX 54130 KachelY + 1 14799 -0.54676828 1.39555496 -31.327515 79.959409
    Unten rechts KachelX + 1 54131 KachelY + 1 14799 -0.54672034 1.39555496 -31.324768 79.959409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39556332-1.39555496) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39556332-1.39555496) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54676828--0.54672034) × cos(1.39556332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174337580839846 × 6371000     		do = 53.2471846377848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54676828--0.54672034) × cos(1.39555496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174345812808244 × 6371000     		du = 53.2496988928244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39556332)-sin(1.39555496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174337580839846-0.174345812808244)×R²
    abs(-0.54672034--0.54676828)×8.23196839788709e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23196839788709e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23196839788709e-06×40589641000000     		ar = 2836.09507593659m²