Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54130 / 14795
↖ ↑ ↗
← N 79.961325°
W 31.327515°		 ← 53.24 m → N 79.961325°
W 31.324768°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.960846°
W 31.327515°		 ← 53.24 m →
2 836 m²		 N 79.960846°
W 31.324768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412982940673828 y=0.112880706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412982940673828 × 217)
    floor (0.412982940673828 × 131072)
    floor (54130.5)     		tx = 54130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112880706787109 × 217)
    floor (0.112880706787109 × 131072)
    floor (14795.5)     		ty = 14795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54130 / 14795 ti = "17/54130/14795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54130/14795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54130 ÷ 217
    54130 ÷ 131072     		x = 0.412979125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14795 ÷ 217
    14795 ÷ 131072     		y = 0.112876892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412979125976562 × 2 - 1) × π
    -0.174041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54676828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112876892089844 × 2 - 1) × π
    0.774246215820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.43236622362127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54676828} λ = -0.54676828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43236622362127))-π/2
    2×atan(11.3857915594578)-π/2
    2×1.48319235713042-π/2
    2.96638471426084-1.57079632675     		φ = 1.39558839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54676828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.327515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39558839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.961325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54130 KachelY 14795 -0.54676828 1.39558839 -31.327515 79.961325
    Oben rechts KachelX + 1 54131 KachelY 14795 -0.54672034 1.39558839 -31.324768 79.961325
    Unten links KachelX 54130 KachelY + 1 14796 -0.54676828 1.39558003 -31.327515 79.960846
    Unten rechts KachelX + 1 54131 KachelY + 1 14796 -0.54672034 1.39558003 -31.324768 79.960846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39558839-1.39558003) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dl = 53.2615599988437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39558839-1.39558003) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dr = 53.2615599988437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54676828--0.54672034) × cos(1.39558839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174312894708451 × 6371000     		do = 53.2396448578359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54676828--0.54672034) × cos(1.39558003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174321126713386 × 6371000     		du = 53.2421591240347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39558839)-sin(1.39558003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174312894708451-0.174321126713386)×R²
    abs(-0.54672034--0.54676828)×8.23200493449416e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23200493449416e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23200493449416e-06×40589641000000     		ar = 2835.69349577096m²