Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54128 / 50857
↖ ↑ ↗
← S 69.977374°
E117.333984°		 ← 209.15 m → S 69.977374°
E117.339478°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
S 69.979254°
E117.333984°		 ← 209.13 m →
43 731 m²		 S 69.979254°
E117.339478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825935363769531 y=0.776023864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825935363769531 × 216)
    floor (0.825935363769531 × 65536)
    floor (54128.5)     		tx = 54128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776023864746094 × 216)
    floor (0.776023864746094 × 65536)
    floor (50857.5)     		ty = 50857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54128 / 50857 ti = "16/54128/50857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54128/50857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54128 ÷ 216
    54128 ÷ 65536     		x = 0.825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50857 ÷ 216
    50857 ÷ 65536     		y = 0.776016235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825927734375 × 2 - 1) × π
    0.65185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04786435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776016235351562 × 2 - 1) × π
    -0.552032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73426115445439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04786435} λ = 2.04786435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73426115445439))-π/2
    2×atan(0.17653058094822)-π/2
    2×0.174730379263294-π/2
    0.349460758526588-1.57079632675     		φ = -1.22133557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04786435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.333984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22133557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.977374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54128 KachelY 50857 2.04786435 -1.22133557 117.333984 -69.977374
    Oben rechts KachelX + 1 54129 KachelY 50857 2.04796023 -1.22133557 117.339478 -69.977374
    Unten links KachelX 54128 KachelY + 1 50858 2.04786435 -1.22136839 117.333984 -69.979254
    Unten rechts KachelX + 1 54129 KachelY + 1 50858 2.04796023 -1.22136839 117.339478 -69.979254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22133557--1.22136839) × R
    3.28200000001555e-05 × 6371000     		dl = 209.096220000991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22133557--1.22136839) × R
    3.28200000001555e-05 × 6371000     		dr = 209.096220000991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04786435-2.04796023) × cos(-1.22133557) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342391207273073 × 6371000     		do = 209.150175701606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04786435-2.04796023) × cos(-1.22136839) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342360370812129 × 6371000     		du = 209.131339203801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22133557)-sin(-1.22136839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342391207273073-0.342360370812129)×R²
    abs(2.04796023-2.04786435)×3.08364609436507e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.08364609436507e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.08364609436507e-05×40589641000000     		ar = 43730.5418353798m²