Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54128 / 50065
↖ ↑ ↗
← S 68.433532°
E117.333984°		 ← 224.54 m → S 68.433532°
E117.339478°		 →
↑
224.51 m
↓
↑
224.51 m
↓
S 68.435551°
E117.333984°		 ← 224.52 m →
50 409 m²		 S 68.435551°
E117.339478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825935363769531 y=0.763938903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825935363769531 × 216)
    floor (0.825935363769531 × 65536)
    floor (54128.5)     		tx = 54128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763938903808594 × 216)
    floor (0.763938903808594 × 65536)
    floor (50065.5)     		ty = 50065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54128 / 50065 ti = "16/54128/50065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54128/50065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54128 ÷ 216
    54128 ÷ 65536     		x = 0.825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50065 ÷ 216
    50065 ÷ 65536     		y = 0.763931274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825927734375 × 2 - 1) × π
    0.65185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04786435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763931274414062 × 2 - 1) × π
    -0.527862548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65832910545622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04786435} λ = 2.04786435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65832910545622))-π/2
    2×atan(0.190456947857248)-π/2
    2×0.188202936322348-π/2
    0.376405872644696-1.57079632675     		φ = -1.19439045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04786435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.333984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19439045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.433532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54128 KachelY 50065 2.04786435 -1.19439045 117.333984 -68.433532
    Oben rechts KachelX + 1 54129 KachelY 50065 2.04796023 -1.19439045 117.339478 -68.433532
    Unten links KachelX 54128 KachelY + 1 50066 2.04786435 -1.19442569 117.333984 -68.435551
    Unten rechts KachelX + 1 54129 KachelY + 1 50066 2.04796023 -1.19442569 117.339478 -68.435551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19439045--1.19442569) × R
    3.5240000000103e-05 × 6371000     		dl = 224.514040000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19439045--1.19442569) × R
    3.5240000000103e-05 × 6371000     		dr = 224.514040000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04786435-2.04796023) × cos(-1.19439045) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.367580345761379 × 6371000     		do = 224.536998227103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04786435-2.04796023) × cos(-1.19442569) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.367547572623224 × 6371000     		du = 224.516978707157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19439045)-sin(-1.19442569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367580345761379-0.367547572623224)×R²
    abs(2.04796023-2.04786435)×3.27731381551954e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.27731381551954e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.27731381551954e-05×40589641000000     		ar = 50409.4612752489m²