Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54128 / 14749
↖ ↑ ↗
← N 79.983324°
W 31.333008°		 ← 53.12 m → N 79.983324°
W 31.330261°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.982846°
W 31.333008°		 ← 53.13 m →
2 823 m²		 N 79.982846°
W 31.330261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412967681884766 y=0.112529754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412967681884766 × 217)
    floor (0.412967681884766 × 131072)
    floor (54128.5)     		tx = 54128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112529754638672 × 217)
    floor (0.112529754638672 × 131072)
    floor (14749.5)     		ty = 14749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54128 / 14749 ti = "17/54128/14749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54128/14749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54128 ÷ 217
    54128 ÷ 131072     		x = 0.4129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14749 ÷ 217
    14749 ÷ 131072     		y = 0.112525939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.174072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54686415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112525939941406 × 2 - 1) × π
    0.774948120117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.43457132100379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54686415} λ = -0.54686415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43457132100379))-π/2
    2×atan(11.410926040428)-π/2
    2×1.48338433708026-π/2
    2.96676867416053-1.57079632675     		φ = 1.39597235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54686415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39597235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.983324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54128 KachelY 14749 -0.54686415 1.39597235 -31.333008 79.983324
    Oben rechts KachelX + 1 54129 KachelY 14749 -0.54681621 1.39597235 -31.330261 79.983324
    Unten links KachelX 54128 KachelY + 1 14750 -0.54686415 1.39596401 -31.333008 79.982846
    Unten rechts KachelX + 1 54129 KachelY + 1 14750 -0.54681621 1.39596401 -31.330261 79.982846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39597235-1.39596401) × R
    8.34000000016211e-06 × 6371000     		dl = 53.1341400010328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39597235-1.39596401) × R
    8.34000000016211e-06 × 6371000     		dr = 53.1341400010328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54686415--0.54681621) × cos(1.39597235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173934800175665 × 6371000     		do = 53.1241650553697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54686415--0.54681621) × cos(1.39596401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173943013044419 × 6371000     		du = 53.1266734768866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39597235)-sin(1.39596401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173934800175665-0.173943013044419)×R²
    abs(-0.54681621--0.54686415)×8.21286875479776e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.21286875479776e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.21286875479776e-06×40589641000000     		ar = 2822.7734649524m²