Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54126 / 50070
↖ ↑ ↗
← S 68.443626°
E117.322998°		 ← 224.44 m → S 68.443626°
E117.328491°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 68.445644°
E117.322998°		 ← 224.42 m →
50 373 m²		 S 68.445644°
E117.328491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825904846191406 y=0.764015197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825904846191406 × 216)
    floor (0.825904846191406 × 65536)
    floor (54126.5)     		tx = 54126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764015197753906 × 216)
    floor (0.764015197753906 × 65536)
    floor (50070.5)     		ty = 50070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54126 / 50070 ti = "16/54126/50070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54126/50070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54126 ÷ 216
    54126 ÷ 65536     		x = 0.825897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50070 ÷ 216
    50070 ÷ 65536     		y = 0.764007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825897216796875 × 2 - 1) × π
    0.65179443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04767260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.52801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65880847445242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04767260} λ = 2.04767260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65880847445242))-π/2
    2×atan(0.19036567058083)-π/2
    2×0.188114852648759-π/2
    0.376229705297519-1.57079632675     		φ = -1.19456662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04767260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.322998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19456662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.443626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54126 KachelY 50070 2.04767260 -1.19456662 117.322998 -68.443626
    Oben rechts KachelX + 1 54127 KachelY 50070 2.04776848 -1.19456662 117.328491 -68.443626
    Unten links KachelX 54126 KachelY + 1 50071 2.04767260 -1.19460185 117.322998 -68.445644
    Unten rechts KachelX + 1 54127 KachelY + 1 50071 2.04776848 -1.19460185 117.328491 -68.445644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19456662--1.19460185) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19456662--1.19460185) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04767260-2.04776848) × cos(-1.19456662) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.367416503408289 × 6371000     		do = 224.436914883231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04767260-2.04776848) × cos(-1.19460185) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.367383737289415 × 6371000     		du = 224.416899651023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19456662)-sin(-1.19460185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367416503408289-0.367383737289415)×R²
    abs(2.04776848-2.04767260)×3.27661188738171e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.27661188738171e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.27661188738171e-05×40589641000000     		ar = 50372.6934018801m²