Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54125 / 12597
↖ ↑ ↗
← N 80.960847°
W 31.341247°		 ← 47.99 m → N 80.960847°
W 31.338501°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
N 80.960415°
W 31.341247°		 ← 47.99 m →
2 302 m²		 N 80.960415°
W 31.338501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412944793701172 y=0.0961112976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412944793701172 × 217)
    floor (0.412944793701172 × 131072)
    floor (54125.5)     		tx = 54125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961112976074219 × 217)
    floor (0.0961112976074219 × 131072)
    floor (12597.5)     		ty = 12597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54125 / 12597 ti = "17/54125/12597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54125/12597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54125 ÷ 217
    54125 ÷ 131072     		x = 0.412940979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12597 ÷ 217
    12597 ÷ 131072     		y = 0.0961074829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412940979003906 × 2 - 1) × π
    -0.174118041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54700796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0961074829101562 × 2 - 1) × π
    0.807785034179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.53773152898615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54700796} λ = -0.54700796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53773152898615))-π/2
    2×atan(12.6509401046606)-π/2
    2×1.49191483386108-π/2
    2.98382966772215-1.57079632675     		φ = 1.41303334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54700796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.341247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41303334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.960847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54125 KachelY 12597 -0.54700796 1.41303334 -31.341247 80.960847
    Oben rechts KachelX + 1 54126 KachelY 12597 -0.54696002 1.41303334 -31.338501 80.960847
    Unten links KachelX 54125 KachelY + 1 12598 -0.54700796 1.41302581 -31.341247 80.960415
    Unten rechts KachelX + 1 54126 KachelY + 1 12598 -0.54696002 1.41302581 -31.338501 80.960415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41303334-1.41302581) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41303334-1.41302581) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54700796--0.54696002) × cos(1.41303334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157109369354664 × 6371000     		do = 47.9852453960501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54700796--0.54696002) × cos(1.41302581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15711680583672 × 6371000     		du = 47.987516689085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41303334)-sin(1.41302581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157109369354664-0.15711680583672)×R²
    abs(-0.54696002--0.54700796)×7.43648205600578e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43648205600578e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43648205600578e-06×40589641000000     		ar = 2302.08088921191m²