Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54124 / 85740
↖ ↑ ↗
← S 48.421910°
W 31.343994°		 ← 202.69 m → S 48.421910°
W 31.341247°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 48.423733°
W 31.343994°		 ← 202.69 m →
41 077 m²		 S 48.423733°
W 31.341247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412937164306641 y=0.654148101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412937164306641 × 217)
    floor (0.412937164306641 × 131072)
    floor (54124.5)     		tx = 54124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654148101806641 × 217)
    floor (0.654148101806641 × 131072)
    floor (85740.5)     		ty = 85740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54124 / 85740 ti = "17/54124/85740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54124/85740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54124 ÷ 217
    54124 ÷ 131072     		x = 0.412933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85740 ÷ 217
    85740 ÷ 131072     		y = 0.654144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.17413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54705590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.30828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.968517119923615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54705590} λ = -0.54705590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968517119923615))-π/2
    2×atan(0.379645589783152)-π/2
    2×0.362837282649504-π/2
    0.725674565299008-1.57079632675     		φ = -0.84512176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54705590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.343994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84512176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.421910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54124 KachelY 85740 -0.54705590 -0.84512176 -31.343994 -48.421910
    Oben rechts KachelX + 1 54125 KachelY 85740 -0.54700796 -0.84512176 -31.341247 -48.421910
    Unten links KachelX 54124 KachelY + 1 85741 -0.54705590 -0.84515357 -31.343994 -48.423733
    Unten rechts KachelX + 1 54125 KachelY + 1 85741 -0.54700796 -0.84515357 -31.341247 -48.423733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84512176--0.84515357) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84512176--0.84515357) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54705590--0.54700796) × cos(-0.84512176) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.663640204604425 × 6371000     		do = 202.692800585394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54705590--0.54700796) × cos(-0.84515357) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.663616408737012 × 6371000     		du = 202.685532714981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84512176)-sin(-0.84515357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663640204604425-0.663616408737012)×R²
    abs(-0.54700796--0.54705590)×2.37958674130789e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37958674130789e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37958674130789e-05×40589641000000     		ar = 41077.2925774979m²