Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54124 / 13326
↖ ↑ ↗
← N 80.640784°
W 31.343994°		 ← 49.67 m → N 80.640784°
W 31.341247°		 →
↑
49.69 m
↓
↑
49.69 m
↓
N 80.640337°
W 31.343994°		 ← 49.67 m →
2 468 m²		 N 80.640337°
W 31.341247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412937164306641 y=0.101673126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412937164306641 × 217)
    floor (0.412937164306641 × 131072)
    floor (54124.5)     		tx = 54124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101673126220703 × 217)
    floor (0.101673126220703 × 131072)
    floor (13326.5)     		ty = 13326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54124 / 13326 ti = "17/54124/13326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54124/13326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54124 ÷ 217
    54124 ÷ 131072     		x = 0.412933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13326 ÷ 217
    13326 ÷ 131072     		y = 0.101669311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.17413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54705590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101669311523438 × 2 - 1) × π
    0.796661376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50278552916313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54705590} λ = -0.54705590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50278552916313))-π/2
    2×atan(12.2164759598628)-π/2
    2×1.48912175588931-π/2
    2.97824351177862-1.57079632675     		φ = 1.40744719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54705590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.343994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40744719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.640784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54124 KachelY 13326 -0.54705590 1.40744719 -31.343994 80.640784
    Oben rechts KachelX + 1 54125 KachelY 13326 -0.54700796 1.40744719 -31.341247 80.640784
    Unten links KachelX 54124 KachelY + 1 13327 -0.54705590 1.40743939 -31.343994 80.640337
    Unten rechts KachelX + 1 54125 KachelY + 1 13327 -0.54700796 1.40743939 -31.341247 80.640337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40744719-1.40743939) × R
    7.80000000011327e-06 × 6371000     		dl = 49.6938000007217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40744719-1.40743939) × R
    7.80000000011327e-06 × 6371000     		dr = 49.6938000007217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54705590--0.54700796) × cos(1.40744719) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162623666140041 × 6371000     		do = 49.6694535724175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54705590--0.54700796) × cos(1.40743939) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162631362302814 × 6371000     		du = 49.6718041786275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40744719)-sin(1.40743939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162623666140041-0.162631362302814)×R²
    abs(-0.54700796--0.54705590)×7.69616277265794e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.69616277265794e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.69616277265794e-06×40589641000000     		ar = 2468.32229739032m²