Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54123 / 13323
↖ ↑ ↗
← N 80.642123°
W 31.346741°		 ← 49.66 m → N 80.642123°
W 31.343994°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
N 80.641677°
W 31.346741°		 ← 49.66 m →
2 465 m²		 N 80.641677°
W 31.343994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412929534912109 y=0.101650238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412929534912109 × 217)
    floor (0.412929534912109 × 131072)
    floor (54123.5)     		tx = 54123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101650238037109 × 217)
    floor (0.101650238037109 × 131072)
    floor (13323.5)     		ty = 13323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54123 / 13323 ti = "17/54123/13323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54123/13323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54123 ÷ 217
    54123 ÷ 131072     		x = 0.412925720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13323 ÷ 217
    13323 ÷ 131072     		y = 0.101646423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412925720214844 × 2 - 1) × π
    -0.174148559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.54710384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101646423339844 × 2 - 1) × π
    0.796707153320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.50292933986199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54710384} λ = -0.54710384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50292933986199))-π/2
    2×atan(12.2182329461419)-π/2
    2×1.48913344857161-π/2
    2.97826689714322-1.57079632675     		φ = 1.40747057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54710384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.346741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40747057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.642123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54123 KachelY 13323 -0.54710384 1.40747057 -31.346741 80.642123
    Oben rechts KachelX + 1 54124 KachelY 13323 -0.54705590 1.40747057 -31.343994 80.642123
    Unten links KachelX 54123 KachelY + 1 13324 -0.54710384 1.40746278 -31.346741 80.641677
    Unten rechts KachelX + 1 54124 KachelY + 1 13324 -0.54705590 1.40746278 -31.343994 80.641677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40747057-1.40746278) × R
    7.79000000017405e-06 × 6371000     		dl = 49.6300900011089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40747057-1.40746278) × R
    7.79000000017405e-06 × 6371000     		dr = 49.6300900011089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54710384--0.54705590) × cos(1.40747057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162600597326201 × 6371000     		do = 49.6624077627643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54710384--0.54705590) × cos(1.40746278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162608283651722 × 6371000     		du = 49.6647553644244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40747057)-sin(1.40746278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162600597326201-0.162608283651722)×R²
    abs(-0.54705590--0.54710384)×7.68632552097803e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.68632552097803e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.68632552097803e-06×40589641000000     		ar = 2464.80802282547m²