Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54122 / 14746
↖ ↑ ↗
← N 79.984757°
W 31.349487°		 ← 53.11 m → N 79.984757°
W 31.346741°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.984279°
W 31.349487°		 ← 53.11 m →
2 822 m²		 N 79.984279°
W 31.346741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412921905517578 y=0.112506866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412921905517578 × 217)
    floor (0.412921905517578 × 131072)
    floor (54122.5)     		tx = 54122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112506866455078 × 217)
    floor (0.112506866455078 × 131072)
    floor (14746.5)     		ty = 14746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54122 / 14746 ti = "17/54122/14746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54122/14746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54122 ÷ 217
    54122 ÷ 131072     		x = 0.412918090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14746 ÷ 217
    14746 ÷ 131072     		y = 0.112503051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412918090820312 × 2 - 1) × π
    -0.174163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54715177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112503051757812 × 2 - 1) × π
    0.774993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43471513170265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54715177} λ = -0.54715177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43471513170265))-π/2
    2×atan(11.4125671716798)-π/2
    2×1.48339684303747-π/2
    2.96679368607495-1.57079632675     		φ = 1.39599736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54715177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.349487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39599736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.984757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54122 KachelY 14746 -0.54715177 1.39599736 -31.349487 79.984757
    Oben rechts KachelX + 1 54123 KachelY 14746 -0.54710384 1.39599736 -31.346741 79.984757
    Unten links KachelX 54122 KachelY + 1 14747 -0.54715177 1.39598902 -31.349487 79.984279
    Unten rechts KachelX + 1 54123 KachelY + 1 14747 -0.54710384 1.39598902 -31.346741 79.984279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39599736-1.39598902) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dl = 53.1341399996181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39599736-1.39598902) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dr = 53.1341399996181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54715177--0.54710384) × cos(1.39599736) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173910171344429 × 6371000     		do = 53.1055629594153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54715177--0.54710384) × cos(1.39598902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173918384249462 × 6371000     		du = 53.1080708687683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39599736)-sin(1.39598902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173910171344429-0.173918384249462)×R²
    abs(-0.54710384--0.54715177)×8.21290503280614e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.21290503280614e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.21290503280614e-06×40589641000000     		ar = 2821.78504486024m²