Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54122 / 13324
↖ ↑ ↗
← N 80.641677°
W 31.349487°		 ← 49.65 m → N 80.641677°
W 31.346741°		 →
↑
49.69 m
↓
↑
49.69 m
↓
N 80.641230°
W 31.349487°		 ← 49.66 m →
2 468 m²		 N 80.641230°
W 31.346741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412921905517578 y=0.101657867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412921905517578 × 217)
    floor (0.412921905517578 × 131072)
    floor (54122.5)     		tx = 54122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101657867431641 × 217)
    floor (0.101657867431641 × 131072)
    floor (13324.5)     		ty = 13324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54122 / 13324 ti = "17/54122/13324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54122/13324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54122 ÷ 217
    54122 ÷ 131072     		x = 0.412918090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13324 ÷ 217
    13324 ÷ 131072     		y = 0.101654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412918090820312 × 2 - 1) × π
    -0.174163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54715177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101654052734375 × 2 - 1) × π
    0.79669189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50288140296237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54715177} λ = -0.54715177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50288140296237))-π/2
    2×atan(12.2176472559739)-π/2
    2×1.48912955119519-π/2
    2.97825910239039-1.57079632675     		φ = 1.40746278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54715177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.349487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40746278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.641677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54122 KachelY 13324 -0.54715177 1.40746278 -31.349487 80.641677
    Oben rechts KachelX + 1 54123 KachelY 13324 -0.54710384 1.40746278 -31.346741 80.641677
    Unten links KachelX 54122 KachelY + 1 13325 -0.54715177 1.40745498 -31.349487 80.641230
    Unten rechts KachelX + 1 54123 KachelY + 1 13325 -0.54710384 1.40745498 -31.346741 80.641230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40746278-1.40745498) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dl = 49.693799999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40746278-1.40745498) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dr = 49.693799999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54715177--0.54710384) × cos(1.40746278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162608283651722 × 6371000     		do = 49.6543955907359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54715177--0.54710384) × cos(1.40745498) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162615979834269 × 6371000     		du = 49.6567457126618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40746278)-sin(1.40745498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162608283651722-0.162615979834269)×R²
    abs(-0.54710384--0.54715177)×7.69618254736759e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.69618254736759e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.69618254736759e-06×40589641000000     		ar = 2467.57399676298m²