Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54121 / 12600
↖ ↑ ↗
← N 80.959552°
W 31.352234°		 ← 47.99 m → N 80.959552°
W 31.349487°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
N 80.959120°
W 31.352234°		 ← 47.99 m →
2 305 m²		 N 80.959120°
W 31.349487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412914276123047 y=0.0961341857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412914276123047 × 217)
    floor (0.412914276123047 × 131072)
    floor (54121.5)     		tx = 54121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961341857910156 × 217)
    floor (0.0961341857910156 × 131072)
    floor (12600.5)     		ty = 12600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54121 / 12600 ti = "17/54121/12600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54121/12600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54121 ÷ 217
    54121 ÷ 131072     		x = 0.412910461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12600 ÷ 217
    12600 ÷ 131072     		y = 0.09613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412910461425781 × 2 - 1) × π
    -0.174179077148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54719971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09613037109375 × 2 - 1) × π
    0.8077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53758771828729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54719971} λ = -0.54719971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53758771828729))-π/2
    2×atan(12.649120894937)-π/2
    2×1.49190353605478-π/2
    2.98380707210955-1.57079632675     		φ = 1.41301075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54719971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.352234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41301075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.959552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54121 KachelY 12600 -0.54719971 1.41301075 -31.352234 80.959552
    Oben rechts KachelX + 1 54122 KachelY 12600 -0.54715177 1.41301075 -31.349487 80.959552
    Unten links KachelX 54121 KachelY + 1 12601 -0.54719971 1.41300321 -31.352234 80.959120
    Unten rechts KachelX + 1 54122 KachelY + 1 12601 -0.54715177 1.41300321 -31.349487 80.959120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41301075-1.41300321) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dl = 48.0373399994716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41301075-1.41300321) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dr = 48.0373399994716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54719971--0.54715177) × cos(1.41301075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157131678774106 × 6371000     		do = 47.992059266992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54719971--0.54715177) × cos(1.41300321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157139125105199 × 6371000     		du = 47.9943335681765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41301075)-sin(1.41300321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157131678774106-0.157139125105199)×R²
    abs(-0.54715177--0.54719971)×7.4463310934525e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.4463310934525e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.4463310934525e-06×40589641000000     		ar = 2305.46549392445m²