Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54118 / 23948
↖ ↑ ↗
← N 43.532621°
E117.279053°		 ← 442.86 m → N 43.532621°
E117.284546°		 →
↑
442.85 m
↓
↑
442.85 m
↓
N 43.528638°
E117.279053°		 ← 442.89 m →
196 125 m²		 N 43.528638°
E117.284546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825782775878906 y=0.365425109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825782775878906 × 216)
    floor (0.825782775878906 × 65536)
    floor (54118.5)     		tx = 54118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365425109863281 × 216)
    floor (0.365425109863281 × 65536)
    floor (23948.5)     		ty = 23948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54118 / 23948 ti = "16/54118/23948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54118/23948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54118 ÷ 216
    54118 ÷ 65536     		x = 0.825775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23948 ÷ 216
    23948 ÷ 65536     		y = 0.36541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825775146484375 × 2 - 1) × π
    0.65155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04690561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36541748046875 × 2 - 1) × π
    0.2691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.845606909297791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04690561} λ = 2.04690561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.845606909297791))-π/2
    2×atan(2.32939111478009)-π/2
    2×1.16529194262308-π/2
    2.33058388524615-1.57079632675     		φ = 0.75978756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04690561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75978756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.532621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54118 KachelY 23948 2.04690561 0.75978756 117.279053 43.532621
    Oben rechts KachelX + 1 54119 KachelY 23948 2.04700149 0.75978756 117.284546 43.532621
    Unten links KachelX 54118 KachelY + 1 23949 2.04690561 0.75971805 117.279053 43.528638
    Unten rechts KachelX + 1 54119 KachelY + 1 23949 2.04700149 0.75971805 117.284546 43.528638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75978756-0.75971805) × R
    6.95099999999949e-05 × 6371000     		dl = 442.848209999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75978756-0.75971805) × R
    6.95099999999949e-05 × 6371000     		dr = 442.848209999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04690561-2.04700149) × cos(0.75978756) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.724982348855406 × 6371000     		do = 442.856540771911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04690561-2.04700149) × cos(0.75971805) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.725030223329071 × 6371000     		du = 442.885784965003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75978756)-sin(0.75971805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724982348855406-0.725030223329071)×R²
    abs(2.04700149-2.04690561)×4.78744736646108e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78744736646108e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78744736646108e-05×40589641000000     		ar = 196124.701815988m²