Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54118 / 23082
↖ ↑ ↗
← N 46.882723°
E117.279053°		 ← 417.51 m → N 46.882723°
E117.284546°		 →
↑
417.49 m
↓
↑
417.49 m
↓
N 46.878968°
E117.279053°		 ← 417.54 m →
174 314 m²		 N 46.878968°
E117.284546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825782775878906 y=0.352210998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825782775878906 × 216)
    floor (0.825782775878906 × 65536)
    floor (54118.5)     		tx = 54118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352210998535156 × 216)
    floor (0.352210998535156 × 65536)
    floor (23082.5)     		ty = 23082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54118 / 23082 ti = "16/54118/23082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54118/23082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54118 ÷ 216
    54118 ÷ 65536     		x = 0.825775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23082 ÷ 216
    23082 ÷ 65536     		y = 0.352203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825775146484375 × 2 - 1) × π
    0.65155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04690561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352203369140625 × 2 - 1) × π
    0.29559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.928633619439728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04690561} λ = 2.04690561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928633619439728))-π/2
    2×atan(2.53104843842953)-π/2
    2×1.19452710280674-π/2
    2.38905420561349-1.57079632675     		φ = 0.81825788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04690561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81825788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.882723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54118 KachelY 23082 2.04690561 0.81825788 117.279053 46.882723
    Oben rechts KachelX + 1 54119 KachelY 23082 2.04700149 0.81825788 117.284546 46.882723
    Unten links KachelX 54118 KachelY + 1 23083 2.04690561 0.81819235 117.279053 46.878968
    Unten rechts KachelX + 1 54119 KachelY + 1 23083 2.04700149 0.81819235 117.284546 46.878968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81825788-0.81819235) × R
    6.55299999999803e-05 × 6371000     		dl = 417.491629999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81825788-0.81819235) × R
    6.55299999999803e-05 × 6371000     		dr = 417.491629999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04690561-2.04700149) × cos(0.81825788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.683493915151887 × 6371000     		do = 417.513269641251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04690561-2.04700149) × cos(0.81819235) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.683541747714745 × 6371000     		du = 417.542488233065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81825788)-sin(0.81819235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683493915151887-0.683541747714745)×R²
    abs(2.04700149-2.04690561)×4.78325628583409e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78325628583409e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78325628583409e-05×40589641000000     		ar = 174314.394809814m²