Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54118 / 13105
↖ ↑ ↗
← N 80.738981°
W 31.360474°		 ← 49.15 m → N 80.738981°
W 31.357727°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
N 80.738539°
W 31.360474°		 ← 49.16 m →
2 418 m²		 N 80.738539°
W 31.357727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412891387939453 y=0.0999870300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412891387939453 × 217)
    floor (0.412891387939453 × 131072)
    floor (54118.5)     		tx = 54118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999870300292969 × 217)
    floor (0.0999870300292969 × 131072)
    floor (13105.5)     		ty = 13105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54118 / 13105 ti = "17/54118/13105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54118/13105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54118 ÷ 217
    54118 ÷ 131072     		x = 0.412887573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13105 ÷ 217
    13105 ÷ 131072     		y = 0.0999832153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412887573242188 × 2 - 1) × π
    -0.174224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54734352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0999832153320312 × 2 - 1) × π
    0.800033569335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.51337958397916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54734352} λ = -0.54734352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51337958397916))-π/2
    2×atan(12.3465859551567)-π/2
    2×1.48997869092347-π/2
    2.97995738184693-1.57079632675     		φ = 1.40916106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54734352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.360474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40916106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.738981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54118 KachelY 13105 -0.54734352 1.40916106 -31.360474 80.738981
    Oben rechts KachelX + 1 54119 KachelY 13105 -0.54729558 1.40916106 -31.357727 80.738981
    Unten links KachelX 54118 KachelY + 1 13106 -0.54734352 1.40915334 -31.360474 80.738539
    Unten rechts KachelX + 1 54119 KachelY + 1 13106 -0.54729558 1.40915334 -31.357727 80.738539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40916106-1.40915334) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40916106-1.40915334) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54734352--0.54729558) × cos(1.40916106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160932372874104 × 6371000     		do = 49.1528890749969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54734352--0.54729558) × cos(1.40915334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160939992242472 × 6371000     		du = 49.1552162262191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40916106)-sin(1.40915334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160932372874104-0.160939992242472)×R²
    abs(-0.54729558--0.54734352)×7.61936836818355e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61936836818355e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61936836818355e-06×40589641000000     		ar = 2417.59882405576m²