Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54117 / 18601
↖ ↑ ↗
← N 77.965592°
W 31.363220°		 ← 63.68 m → N 77.965592°
W 31.360474°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.965019°
W 31.363220°		 ← 63.68 m →
4 057 m²		 N 77.965019°
W 31.360474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412883758544922 y=0.141918182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412883758544922 × 217)
    floor (0.412883758544922 × 131072)
    floor (54117.5)     		tx = 54117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141918182373047 × 217)
    floor (0.141918182373047 × 131072)
    floor (18601.5)     		ty = 18601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54117 / 18601 ti = "17/54117/18601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54117/18601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54117 ÷ 217
    54117 ÷ 131072     		x = 0.412879943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18601 ÷ 217
    18601 ÷ 131072     		y = 0.141914367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412879943847656 × 2 - 1) × π
    -0.174240112304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54739146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141914367675781 × 2 - 1) × π
    0.716171264648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.24991838366734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54739146} λ = -0.54739146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24991838366734))-π/2
    2×atan(9.48696151375339)-π/2
    2×1.46577630632147-π/2
    2.93155261264294-1.57079632675     		φ = 1.36075629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54739146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.363220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36075629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.965592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54117 KachelY 18601 -0.54739146 1.36075629 -31.363220 77.965592
    Oben rechts KachelX + 1 54118 KachelY 18601 -0.54734352 1.36075629 -31.360474 77.965592
    Unten links KachelX 54117 KachelY + 1 18602 -0.54739146 1.36074629 -31.363220 77.965019
    Unten rechts KachelX + 1 54118 KachelY + 1 18602 -0.54734352 1.36074629 -31.360474 77.965019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36075629-1.36074629) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dl = 63.7100000004174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36075629-1.36074629) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dr = 63.7100000004174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54739146--0.54734352) × cos(1.36075629) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.20849905690215 × 6371000     		do = 63.6809787437468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54739146--0.54734352) × cos(1.36074629) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208508837117403 × 6371000     		du = 63.6839658732281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36075629)-sin(1.36074629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20849905690215-0.208508837117403)×R²
    abs(-0.54734352--0.54739146)×9.78021525369077e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.78021525369077e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.78021525369077e-06×40589641000000     		ar = 4057.21031073698m²