Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54116 / 15269
↖ ↑ ↗
← N 79.731833°
W 31.365967°		 ← 54.43 m → N 79.731833°
W 31.363220°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.731343°
W 31.365967°		 ← 54.44 m →
2 962 m²		 N 79.731343°
W 31.363220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412876129150391 y=0.116497039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412876129150391 × 217)
    floor (0.412876129150391 × 131072)
    floor (54116.5)     		tx = 54116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116497039794922 × 217)
    floor (0.116497039794922 × 131072)
    floor (15269.5)     		ty = 15269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54116 / 15269 ti = "17/54116/15269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54116/15269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54116 ÷ 217
    54116 ÷ 131072     		x = 0.412872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15269 ÷ 217
    15269 ÷ 131072     		y = 0.116493225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.17425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54743939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116493225097656 × 2 - 1) × π
    0.767013549804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.40964413320136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54743939} λ = -0.54743939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40964413320136))-π/2
    2×atan(11.1299996428818)-π/2
    2×1.48118966489554-π/2
    2.96237932979108-1.57079632675     		φ = 1.39158300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54743939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.365967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39158300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.731833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54116 KachelY 15269 -0.54743939 1.39158300 -31.365967 79.731833
    Oben rechts KachelX + 1 54117 KachelY 15269 -0.54739146 1.39158300 -31.363220 79.731833
    Unten links KachelX 54116 KachelY + 1 15270 -0.54743939 1.39157446 -31.365967 79.731343
    Unten rechts KachelX + 1 54117 KachelY + 1 15270 -0.54739146 1.39157446 -31.363220 79.731343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39158300-1.39157446) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39158300-1.39157446) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54743939--0.54739146) × cos(1.39158300) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.17825555463788 × 6371000     		do = 54.4324780229061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54743939--0.54739146) × cos(1.39157446) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.178263957856671 × 6371000     		du = 54.4350440468546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39158300)-sin(1.39157446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17825555463788-0.178263957856671)×R²
    abs(-0.54739146--0.54743939)×8.40321879075345e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.40321879075345e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.40321879075345e-06×40589641000000     		ar = 2961.65057775191m²