Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54115 / 13367
↖ ↑ ↗
← N 80.622453°
W 31.368713°		 ← 49.77 m → N 80.622453°
W 31.365967°		 →
↑
49.76 m
↓
↑
49.76 m
↓
N 80.622005°
W 31.368713°		 ← 49.77 m →
2 476 m²		 N 80.622005°
W 31.365967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412868499755859 y=0.101985931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412868499755859 × 217)
    floor (0.412868499755859 × 131072)
    floor (54115.5)     		tx = 54115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101985931396484 × 217)
    floor (0.101985931396484 × 131072)
    floor (13367.5)     		ty = 13367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54115 / 13367 ti = "17/54115/13367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54115/13367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54115 ÷ 217
    54115 ÷ 131072     		x = 0.412864685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13367 ÷ 217
    13367 ÷ 131072     		y = 0.101982116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412864685058594 × 2 - 1) × π
    -0.174270629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.54748733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101982116699219 × 2 - 1) × π
    0.796035766601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.50082011627871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54748733} λ = -0.54748733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50082011627871))-π/2
    2×atan(12.1924891203523)-π/2
    2×1.48896178950556-π/2
    2.97792357901111-1.57079632675     		φ = 1.40712725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54748733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.368713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40712725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.622453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54115 KachelY 13367 -0.54748733 1.40712725 -31.368713 80.622453
    Oben rechts KachelX + 1 54116 KachelY 13367 -0.54743939 1.40712725 -31.365967 80.622453
    Unten links KachelX 54115 KachelY + 1 13368 -0.54748733 1.40711944 -31.368713 80.622005
    Unten rechts KachelX + 1 54116 KachelY + 1 13368 -0.54743939 1.40711944 -31.365967 80.622005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40712725-1.40711944) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dl = 49.7575100003345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40712725-1.40711944) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dr = 49.7575100003345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54748733--0.54743939) × cos(1.40712725) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162939338824295 × 6371000     		do = 49.7658681356037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54748733--0.54743939) × cos(1.40711944) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16294704444718 × 6371000     		du = 49.7682216311755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40712725)-sin(1.40711944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162939338824295-0.16294704444718)×R²
    abs(-0.54743939--0.54748733)×7.70562288474053e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.70562288474053e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.70562288474053e-06×40589641000000     		ar = 2476.28423340783m²