Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54113 / 21537
↖ ↑ ↗
← N 52.372245°
E117.251587°		 ← 372.94 m → N 52.372245°
E117.257080°		 →
↑
372.89 m
↓
↑
372.89 m
↓
N 52.368892°
E117.251587°		 ← 372.97 m →
139 074 m²		 N 52.368892°
E117.257080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825706481933594 y=0.328636169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825706481933594 × 216)
    floor (0.825706481933594 × 65536)
    floor (54113.5)     		tx = 54113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328636169433594 × 216)
    floor (0.328636169433594 × 65536)
    floor (21537.5)     		ty = 21537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54113 / 21537 ti = "16/54113/21537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54113/21537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54113 ÷ 216
    54113 ÷ 65536     		x = 0.825698852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21537 ÷ 216
    21537 ÷ 65536     		y = 0.328628540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825698852539062 × 2 - 1) × π
    0.651397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04642624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328628540039062 × 2 - 1) × π
    0.342742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0767586392657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04642624} λ = 2.04642624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0767586392657))-π/2
    2×atan(2.93515023471278)-π/2
    2×1.2424322243062-π/2
    2.4848644486124-1.57079632675     		φ = 0.91406812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04642624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.251587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91406812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.372245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54113 KachelY 21537 2.04642624 0.91406812 117.251587 52.372245
    Oben rechts KachelX + 1 54114 KachelY 21537 2.04652212 0.91406812 117.257080 52.372245
    Unten links KachelX 54113 KachelY + 1 21538 2.04642624 0.91400959 117.251587 52.368892
    Unten rechts KachelX + 1 54114 KachelY + 1 21538 2.04652212 0.91400959 117.257080 52.368892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91406812-0.91400959) × R
    5.85300000000011e-05 × 6371000     		dl = 372.894630000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91406812-0.91400959) × R
    5.85300000000011e-05 × 6371000     		dr = 372.894630000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04642624-2.04652212) × cos(0.91406812) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.61052888377786 × 6371000     		do = 372.942472238209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04642624-2.04652212) × cos(0.91400959) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.610575238140375 × 6371000     		du = 372.970787869156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91406812)-sin(0.91400959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61052888377786-0.610575238140375)×R²
    abs(2.04652212-2.04642624)×4.63543625146556e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.63543625146556e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.63543625146556e-05×40589641000000     		ar = 139073.524609463m²