Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54113 / 14751
↖ ↑ ↗
← N 79.982368°
W 31.374206°		 ← 53.12 m → N 79.982368°
W 31.371460°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.981890°
W 31.374206°		 ← 53.12 m →
2 822 m²		 N 79.981890°
W 31.371460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412853240966797 y=0.112545013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412853240966797 × 217)
    floor (0.412853240966797 × 131072)
    floor (54113.5)     		tx = 54113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112545013427734 × 217)
    floor (0.112545013427734 × 131072)
    floor (14751.5)     		ty = 14751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54113 / 14751 ti = "17/54113/14751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54113/14751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54113 ÷ 217
    54113 ÷ 131072     		x = 0.412849426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14751 ÷ 217
    14751 ÷ 131072     		y = 0.112541198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412849426269531 × 2 - 1) × π
    -0.174301147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54758320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112541198730469 × 2 - 1) × π
    0.774917602539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.43447544720455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54758320} λ = -0.54758320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43447544720455))-π/2
    2×atan(11.4098320840374)-π/2
    2×1.48337599879147-π/2
    2.96675199758294-1.57079632675     		φ = 1.39595567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54758320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.374206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39595567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.982368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54113 KachelY 14751 -0.54758320 1.39595567 -31.374206 79.982368
    Oben rechts KachelX + 1 54114 KachelY 14751 -0.54753527 1.39595567 -31.371460 79.982368
    Unten links KachelX 54113 KachelY + 1 14752 -0.54758320 1.39594733 -31.374206 79.981890
    Unten rechts KachelX + 1 54114 KachelY + 1 14752 -0.54753527 1.39594733 -31.371460 79.981890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39595567-1.39594733) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dl = 53.1341399996181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39595567-1.39594733) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dr = 53.1341399996181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54758320--0.54753527) × cos(1.39595567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173951225901075 × 6371000     		do = 53.1180994621735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54758320--0.54753527) × cos(1.39594733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173959438745632 × 6371000     		du = 53.1206073530593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39595567)-sin(1.39594733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173951225901075-0.173959438745632)×R²
    abs(-0.54753527--0.54758320)×8.21284455659876e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.21284455659876e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.21284455659876e-06×40589641000000     		ar = 2822.45116050262m²