Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54113 / 13100
↖ ↑ ↗
← N 80.741191°
W 31.374206°		 ← 49.13 m → N 80.741191°
W 31.371460°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.740749°
W 31.374206°		 ← 49.13 m →
2 413 m²		 N 80.740749°
W 31.371460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412853240966797 y=0.0999488830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412853240966797 × 217)
    floor (0.412853240966797 × 131072)
    floor (54113.5)     		tx = 54113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999488830566406 × 217)
    floor (0.0999488830566406 × 131072)
    floor (13100.5)     		ty = 13100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54113 / 13100 ti = "17/54113/13100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54113/13100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54113 ÷ 217
    54113 ÷ 131072     		x = 0.412849426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13100 ÷ 217
    13100 ÷ 131072     		y = 0.099945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412849426269531 × 2 - 1) × π
    -0.174301147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54758320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099945068359375 × 2 - 1) × π
    0.80010986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51361926847726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54758320} λ = -0.54758320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51361926847726))-π/2
    2×atan(12.3495455950904)-π/2
    2×1.48999797514053-π/2
    2.97999595028105-1.57079632675     		φ = 1.40919962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54758320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.374206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40919962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.741191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54113 KachelY 13100 -0.54758320 1.40919962 -31.374206 80.741191
    Oben rechts KachelX + 1 54114 KachelY 13100 -0.54753527 1.40919962 -31.371460 80.741191
    Unten links KachelX 54113 KachelY + 1 13101 -0.54758320 1.40919191 -31.374206 80.740749
    Unten rechts KachelX + 1 54114 KachelY + 1 13101 -0.54753527 1.40919191 -31.371460 80.740749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40919962-1.40919191) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40919962-1.40919191) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54758320--0.54753527) × cos(1.40919962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160894315367268 × 6371000     		do = 49.1310147560391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54758320--0.54753527) × cos(1.40919191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160901924913834 × 6371000     		du = 49.1333384226261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40919962)-sin(1.40919191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160894315367268-0.160901924913834)×R²
    abs(-0.54753527--0.54758320)×7.6095465665893e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.6095465665893e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.6095465665893e-06×40589641000000     		ar = 2413.39265837144m²