Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54109 / 18595
↖ ↑ ↗
← N 77.969028°
W 31.385193°		 ← 63.65 m → N 77.969028°
W 31.382447°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.968455°
W 31.385193°		 ← 63.65 m →
4 055 m²		 N 77.968455°
W 31.382447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412822723388672 y=0.141872406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412822723388672 × 217)
    floor (0.412822723388672 × 131072)
    floor (54109.5)     		tx = 54109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141872406005859 × 217)
    floor (0.141872406005859 × 131072)
    floor (18595.5)     		ty = 18595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54109 / 18595 ti = "17/54109/18595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54109/18595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54109 ÷ 217
    54109 ÷ 131072     		x = 0.412818908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18595 ÷ 217
    18595 ÷ 131072     		y = 0.141868591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412818908691406 × 2 - 1) × π
    -0.174362182617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54777495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141868591308594 × 2 - 1) × π
    0.716262817382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25020600506506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54777495} λ = -0.54777495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25020600506506))-π/2
    2×atan(9.48969055933123)-π/2
    2×1.46580628650021-π/2
    2.93161257300041-1.57079632675     		φ = 1.36081625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54777495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.385193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36081625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.969028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54109 KachelY 18595 -0.54777495 1.36081625 -31.385193 77.969028
    Oben rechts KachelX + 1 54110 KachelY 18595 -0.54772702 1.36081625 -31.382447 77.969028
    Unten links KachelX 54109 KachelY + 1 18596 -0.54777495 1.36080625 -31.385193 77.968455
    Unten rechts KachelX + 1 54110 KachelY + 1 18596 -0.54772702 1.36080625 -31.382447 77.968455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36081625-1.36080625) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dl = 63.7100000004174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36081625-1.36080625) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dr = 63.7100000004174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54777495--0.54772702) × cos(1.36081625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208440414294217 × 6371000     		do = 63.6497880429621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54777495--0.54772702) × cos(1.36080625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208450194634472 × 6371000     		du = 63.6527745875164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36081625)-sin(1.36080625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208440414294217-0.208450194634472)×R²
    abs(-0.54772702--0.54777495)×9.78034025506114e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.78034025506114e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.78034025506114e-06×40589641000000     		ar = 4055.2231327548m²