Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54107 / 23916
↖ ↑ ↗
← N 43.659924°
E117.218628°		 ← 441.92 m → N 43.659924°
E117.224121°		 →
↑
441.96 m
↓
↑
441.96 m
↓
N 43.655950°
E117.218628°		 ← 441.95 m →
195 316 m²		 N 43.655950°
E117.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825614929199219 y=0.364936828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825614929199219 × 216)
    floor (0.825614929199219 × 65536)
    floor (54107.5)     		tx = 54107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364936828613281 × 216)
    floor (0.364936828613281 × 65536)
    floor (23916.5)     		ty = 23916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54107 / 23916 ti = "16/54107/23916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54107/23916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54107 ÷ 216
    54107 ÷ 65536     		x = 0.825607299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23916 ÷ 216
    23916 ÷ 65536     		y = 0.36492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825607299804688 × 2 - 1) × π
    0.651214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04585100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36492919921875 × 2 - 1) × π
    0.2701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.848674870873474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04585100} λ = 2.04585100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848674870873474))-π/2
    2×atan(2.33654857100124)-π/2
    2×1.16640287652658-π/2
    2.33280575305316-1.57079632675     		φ = 0.76200943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04585100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.218628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76200943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.659924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54107 KachelY 23916 2.04585100 0.76200943 117.218628 43.659924
    Oben rechts KachelX + 1 54108 KachelY 23916 2.04594688 0.76200943 117.224121 43.659924
    Unten links KachelX 54107 KachelY + 1 23917 2.04585100 0.76194006 117.218628 43.655950
    Unten rechts KachelX + 1 54108 KachelY + 1 23917 2.04594688 0.76194006 117.224121 43.655950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76200943-0.76194006) × R
    6.93699999999575e-05 × 6371000     		dl = 441.956269999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76200943-0.76194006) × R
    6.93699999999575e-05 × 6371000     		dr = 441.956269999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04585100-2.04594688) × cos(0.76200943) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.723450208878909 × 6371000     		do = 441.920630799701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04585100-2.04594688) × cos(0.76194006) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.723498098560179 × 6371000     		du = 441.949884282381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76200943)-sin(0.76194006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723450208878909-0.723498098560179)×R²
    abs(2.04594688-2.04585100)×4.78896812702301e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78896812702301e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78896812702301e-05×40589641000000     		ar = 195316.058082609m²