Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54107 / 13319
↖ ↑ ↗
← N 80.643910°
W 31.390686°		 ← 49.65 m → N 80.643910°
W 31.387940°		 →
↑
49.69 m
↓
↑
49.69 m
↓
N 80.643463°
W 31.390686°		 ← 49.66 m →
2 468 m²		 N 80.643463°
W 31.387940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412807464599609 y=0.101619720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412807464599609 × 217)
    floor (0.412807464599609 × 131072)
    floor (54107.5)     		tx = 54107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101619720458984 × 217)
    floor (0.101619720458984 × 131072)
    floor (13319.5)     		ty = 13319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54107 / 13319 ti = "17/54107/13319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54107/13319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54107 ÷ 217
    54107 ÷ 131072     		x = 0.412803649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13319 ÷ 217
    13319 ÷ 131072     		y = 0.101615905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412803649902344 × 2 - 1) × π
    -0.174392700195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.54787083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101615905761719 × 2 - 1) × π
    0.796768188476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.50312108746047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54787083} λ = -0.54787083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50312108746047))-π/2
    2×atan(12.2205759875961)-π/2
    2×1.48914903623399-π/2
    2.97829807246799-1.57079632675     		φ = 1.40750175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54787083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.390686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40750175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.643910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54107 KachelY 13319 -0.54787083 1.40750175 -31.390686 80.643910
    Oben rechts KachelX + 1 54108 KachelY 13319 -0.54782289 1.40750175 -31.387940 80.643910
    Unten links KachelX 54107 KachelY + 1 13320 -0.54787083 1.40749395 -31.390686 80.643463
    Unten rechts KachelX + 1 54108 KachelY + 1 13320 -0.54782289 1.40749395 -31.387940 80.643463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40750175-1.40749395) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dl = 49.693799999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40750175-1.40749395) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dr = 49.693799999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54787083--0.54782289) × cos(1.40750175) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162569832191509 × 6371000     		do = 49.6530112988498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54787083--0.54782289) × cos(1.40749395) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162577528423479 × 6371000     		du = 49.6553619261944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40750175)-sin(1.40749395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162569832191509-0.162577528423479)×R²
    abs(-0.54782289--0.54787083)×7.69623197005576e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.69623197005576e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.69623197005576e-06×40589641000000     		ar = 2467.50521880892m²