Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54104 / 13220
↖ ↑ ↗
← N 80.688011°
W 31.398926°		 ← 49.42 m → N 80.688011°
W 31.396179°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.687566°
W 31.398926°		 ← 49.42 m →
2 443 m²		 N 80.687566°
W 31.396179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412784576416016 y=0.100864410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412784576416016 × 217)
    floor (0.412784576416016 × 131072)
    floor (54104.5)     		tx = 54104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100864410400391 × 217)
    floor (0.100864410400391 × 131072)
    floor (13220.5)     		ty = 13220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54104 / 13220 ti = "17/54104/13220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54104/13220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54104 ÷ 217
    54104 ÷ 131072     		x = 0.41278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13220 ÷ 217
    13220 ÷ 131072     		y = 0.100860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54801464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100860595703125 × 2 - 1) × π
    0.79827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50786684052286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54801464} λ = -0.54801464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50786684052286))-π/2
    2×atan(12.2787096584286)-π/2
    2×1.48953389257416-π/2
    2.97906778514831-1.57079632675     		φ = 1.40827146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54801464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.398926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40827146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.688011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54104 KachelY 13220 -0.54801464 1.40827146 -31.398926 80.688011
    Oben rechts KachelX + 1 54105 KachelY 13220 -0.54796670 1.40827146 -31.396179 80.688011
    Unten links KachelX 54104 KachelY + 1 13221 -0.54801464 1.40826370 -31.398926 80.687566
    Unten rechts KachelX + 1 54105 KachelY + 1 13221 -0.54796670 1.40826370 -31.396179 80.687566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40827146-1.40826370) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40827146-1.40826370) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54801464--0.54796670) × cos(1.40827146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161810313529955 × 6371000     		do = 49.4210347494862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54801464--0.54796670) × cos(1.40826370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16181797126287 × 6371000     		du = 49.4233736182285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40827146)-sin(1.40826370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161810313529955-0.16181797126287)×R²
    abs(-0.54796670--0.54801464)×7.65773291508398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.65773291508398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.65773291508398e-06×40589641000000     		ar = 2443.38237577391m²