Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54103 / 50127
↖ ↑ ↗
← S 68.558376°
E117.196655°		 ← 223.28 m → S 68.558376°
E117.202148°		 →
↑
223.24 m
↓
↑
223.24 m
↓
S 68.560384°
E117.196655°		 ← 223.26 m →
49 842 m²		 S 68.560384°
E117.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825553894042969 y=0.764884948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825553894042969 × 216)
    floor (0.825553894042969 × 65536)
    floor (54103.5)     		tx = 54103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764884948730469 × 216)
    floor (0.764884948730469 × 65536)
    floor (50127.5)     		ty = 50127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54103 / 50127 ti = "16/54103/50127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54103/50127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54103 ÷ 216
    54103 ÷ 65536     		x = 0.825546264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50127 ÷ 216
    50127 ÷ 65536     		y = 0.764877319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825546264648438 × 2 - 1) × π
    0.651092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04546751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764877319335938 × 2 - 1) × π
    -0.529754638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66427328100911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04546751} λ = 2.04546751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66427328100911))-π/2
    2×atan(0.189328196395872)-π/2
    2×0.18711347022442-π/2
    0.374226940448839-1.57079632675     		φ = -1.19656939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04546751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.196655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19656939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.558376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54103 KachelY 50127 2.04546751 -1.19656939 117.196655 -68.558376
    Oben rechts KachelX + 1 54104 KachelY 50127 2.04556338 -1.19656939 117.202148 -68.558376
    Unten links KachelX 54103 KachelY + 1 50128 2.04546751 -1.19660443 117.196655 -68.560384
    Unten rechts KachelX + 1 54104 KachelY + 1 50128 2.04556338 -1.19660443 117.202148 -68.560384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19656939--1.19660443) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dl = 223.239839999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19656939--1.19660443) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dr = 223.239839999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04546751-2.04556338) × cos(-1.19656939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365553078506009 × 6371000     		do = 223.275349637315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04546751-2.04556338) × cos(-1.19660443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365520463382635 × 6371000     		du = 223.255428718841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19656939)-sin(-1.19660443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365553078506009-0.365520463382635)×R²
    abs(2.04556338-2.04546751)×3.26151233742689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26151233742689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26151233742689e-05×40589641000000     		ar = 49841.729762712m²