Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54102 / 50130
↖ ↑ ↗
← S 68.564399°
E117.191162°		 ← 223.24 m → S 68.564399°
E117.196655°		 →
↑
223.24 m
↓
↑
223.24 m
↓
S 68.566407°
E117.191162°		 ← 223.22 m →
49 834 m²		 S 68.566407°
E117.196655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825538635253906 y=0.764930725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825538635253906 × 216)
    floor (0.825538635253906 × 65536)
    floor (54102.5)     		tx = 54102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764930725097656 × 216)
    floor (0.764930725097656 × 65536)
    floor (50130.5)     		ty = 50130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54102 / 50130 ti = "16/54102/50130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54102/50130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54102 ÷ 216
    54102 ÷ 65536     		x = 0.825531005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50130 ÷ 216
    50130 ÷ 65536     		y = 0.764923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825531005859375 × 2 - 1) × π
    0.65106201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04537163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.52984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66456090240683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04537163} λ = 2.04537163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66456090240683))-π/2
    2×atan(0.189273749385835)-π/2
    2×0.187060906816664-π/2
    0.374121813633328-1.57079632675     		φ = -1.19667451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04537163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.191162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19667451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.564399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54102 KachelY 50130 2.04537163 -1.19667451 117.191162 -68.564399
    Oben rechts KachelX + 1 54103 KachelY 50130 2.04546751 -1.19667451 117.196655 -68.564399
    Unten links KachelX 54102 KachelY + 1 50131 2.04537163 -1.19670955 117.191162 -68.566407
    Unten rechts KachelX + 1 54103 KachelY + 1 50131 2.04546751 -1.19670955 117.196655 -68.566407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19667451--1.19670955) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dl = 223.239839999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19667451--1.19670955) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dr = 223.239839999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04537163-2.04546751) × cos(-1.19667451) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365455231789566 × 6371000     		do = 223.238869212253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04537163-2.04546751) × cos(-1.19670955) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365422615319952 × 6371000     		du = 223.218945393517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19667451)-sin(-1.19670955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365455231789566-0.365422615319952)×R²
    abs(2.04546751-2.04537163)×3.26164696139997e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.26164696139997e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.26164696139997e-05×40589641000000     		ar = 49833.5855547054m²