Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54101 / 50131
↖ ↑ ↗
← S 68.566407°
E117.185669°		 ← 223.20 m → S 68.566407°
E117.191162°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
S 68.568414°
E117.185669°		 ← 223.18 m →
49 810 m²		 S 68.568414°
E117.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825523376464844 y=0.764945983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825523376464844 × 216)
    floor (0.825523376464844 × 65536)
    floor (54101.5)     		tx = 54101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764945983886719 × 216)
    floor (0.764945983886719 × 65536)
    floor (50131.5)     		ty = 50131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54101 / 50131 ti = "16/54101/50131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54101/50131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54101 ÷ 216
    54101 ÷ 65536     		x = 0.825515747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50131 ÷ 216
    50131 ÷ 65536     		y = 0.764938354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825515747070312 × 2 - 1) × π
    0.651031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04527576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764938354492188 × 2 - 1) × π
    -0.529876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66465677620607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04527576} λ = 2.04527576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66465677620607))-π/2
    2×atan(0.189255603862239)-π/2
    2×0.18704338880773-π/2
    0.374086777615461-1.57079632675     		φ = -1.19670955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04527576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.185669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19670955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.566407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54101 KachelY 50131 2.04527576 -1.19670955 117.185669 -68.566407
    Oben rechts KachelX + 1 54102 KachelY 50131 2.04537163 -1.19670955 117.191162 -68.566407
    Unten links KachelX 54101 KachelY + 1 50132 2.04527576 -1.19674458 117.185669 -68.568414
    Unten rechts KachelX + 1 54102 KachelY + 1 50132 2.04537163 -1.19674458 117.191162 -68.568414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19670955--1.19674458) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dl = 223.176130000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19670955--1.19674458) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dr = 223.176130000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04527576-2.04537163) × cos(-1.19670955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365422615319952 × 6371000     		do = 223.195664318837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04527576-2.04537163) × cos(-1.19674458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365390007710217 × 6371000     		du = 223.175747989601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19670955)-sin(-1.19674458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365422615319952-0.365390007710217)×R²
    abs(2.04537163-2.04527576)×3.26076097352246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26076097352246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26076097352246e-05×40589641000000     		ar = 49809.7221759249m²