Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54101 / 13462
↖ ↑ ↗
← N 80.579842°
W 31.407166°		 ← 49.99 m → N 80.579842°
W 31.404419°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.579393°
W 31.407166°		 ← 49.99 m →
2 500 m²		 N 80.579393°
W 31.404419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412761688232422 y=0.102710723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412761688232422 × 217)
    floor (0.412761688232422 × 131072)
    floor (54101.5)     		tx = 54101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102710723876953 × 217)
    floor (0.102710723876953 × 131072)
    floor (13462.5)     		ty = 13462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54101 / 13462 ti = "17/54101/13462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54101/13462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54101 ÷ 217
    54101 ÷ 131072     		x = 0.412757873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13462 ÷ 217
    13462 ÷ 131072     		y = 0.102706909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412757873535156 × 2 - 1) × π
    -0.174484252929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54815845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102706909179688 × 2 - 1) × π
    0.794586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4962661108148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54815845} λ = -0.54815845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4962661108148))-π/2
    2×atan(12.1370906963844)-π/2
    2×1.48858994146684-π/2
    2.97717988293369-1.57079632675     		φ = 1.40638356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54815845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.407166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40638356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.579842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54101 KachelY 13462 -0.54815845 1.40638356 -31.407166 80.579842
    Oben rechts KachelX + 1 54102 KachelY 13462 -0.54811051 1.40638356 -31.404419 80.579842
    Unten links KachelX 54101 KachelY + 1 13463 -0.54815845 1.40637571 -31.407166 80.579393
    Unten rechts KachelX + 1 54102 KachelY + 1 13463 -0.54811051 1.40637571 -31.404419 80.579393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40638356-1.40637571) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dl = 50.0123500002003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40638356-1.40637571) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dr = 50.0123500002003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54815845--0.54811051) × cos(1.40638356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163673045090771 × 6371000     		do = 49.9899609148693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54815845--0.54811051) × cos(1.40637571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16368078922565 × 6371000     		du = 49.9923261729953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40638356)-sin(1.40637571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163673045090771-0.16368078922565)×R²
    abs(-0.54811051--0.54815845)×7.74413487850123e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.74413487850123e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.74413487850123e-06×40589641000000     		ar = 2500.17456781311m²