Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54100 / 50144
↖ ↑ ↗
← S 68.592486°
E117.180176°		 ← 222.94 m → S 68.592486°
E117.185669°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 68.594492°
E117.180176°		 ← 222.92 m →
49 709 m²		 S 68.594492°
E117.185669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825508117675781 y=0.765144348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825508117675781 × 216)
    floor (0.825508117675781 × 65536)
    floor (54100.5)     		tx = 54100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765144348144531 × 216)
    floor (0.765144348144531 × 65536)
    floor (50144.5)     		ty = 50144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54100 / 50144 ti = "16/54100/50144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54100/50144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54100 ÷ 216
    54100 ÷ 65536     		x = 0.82550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50144 ÷ 216
    50144 ÷ 65536     		y = 0.76513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82550048828125 × 2 - 1) × π
    0.6510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04517989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    -0.5302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66590313559619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04517989} λ = 2.04517989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66590313559619))-π/2
    2×atan(0.189019870298119)-π/2
    2×0.186815796908552-π/2
    0.373631593817103-1.57079632675     		φ = -1.19716473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04517989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19716473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.592486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54100 KachelY 50144 2.04517989 -1.19716473 117.180176 -68.592486
    Oben rechts KachelX + 1 54101 KachelY 50144 2.04527576 -1.19716473 117.185669 -68.592486
    Unten links KachelX 54100 KachelY + 1 50145 2.04517989 -1.19719973 117.180176 -68.594492
    Unten rechts KachelX + 1 54101 KachelY + 1 50145 2.04527576 -1.19719973 117.185669 -68.594492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19716473--1.19719973) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19716473--1.19719973) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04517989-2.04527576) × cos(-1.19716473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364998876943627 × 6371000     		do = 222.936850100897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04517989-2.04527576) × cos(-1.19719973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364966291441505 × 6371000     		du = 222.916947274722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19716473)-sin(-1.19719973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364998876943627-0.364966291441505)×R²
    abs(2.04527576-2.04517989)×3.25855021222066e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25855021222066e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25855021222066e-05×40589641000000     		ar = 49709.3545088068m²