Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54100 / 50143
↖ ↑ ↗
← S 68.590482°
E117.180176°		 ← 222.96 m → S 68.590482°
E117.185669°		 →
↑
222.92 m
↓
↑
222.92 m
↓
S 68.592486°
E117.180176°		 ← 222.94 m →
49 700 m²		 S 68.592486°
E117.185669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825508117675781 y=0.765129089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825508117675781 × 216)
    floor (0.825508117675781 × 65536)
    floor (54100.5)     		tx = 54100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765129089355469 × 216)
    floor (0.765129089355469 × 65536)
    floor (50143.5)     		ty = 50143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54100 / 50143 ti = "16/54100/50143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54100/50143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54100 ÷ 216
    54100 ÷ 65536     		x = 0.82550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50143 ÷ 216
    50143 ÷ 65536     		y = 0.765121459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82550048828125 × 2 - 1) × π
    0.6510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04517989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765121459960938 × 2 - 1) × π
    -0.530242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66580726179695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04517989} λ = 2.04517989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66580726179695))-π/2
    2×atan(0.189037993219959)-π/2
    2×0.186833294603845-π/2
    0.37366658920769-1.57079632675     		φ = -1.19712974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04517989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19712974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.590482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54100 KachelY 50143 2.04517989 -1.19712974 117.180176 -68.590482
    Oben rechts KachelX + 1 54101 KachelY 50143 2.04527576 -1.19712974 117.185669 -68.590482
    Unten links KachelX 54100 KachelY + 1 50144 2.04517989 -1.19716473 117.180176 -68.592486
    Unten rechts KachelX + 1 54101 KachelY + 1 50144 2.04527576 -1.19716473 117.185669 -68.592486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19712974--1.19716473) × R
    3.4989999999846e-05 × 6371000     		dl = 222.921289999019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19712974--1.19716473) × R
    3.4989999999846e-05 × 6371000     		dr = 222.921289999019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04517989-2.04527576) × cos(-1.19712974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365031452688673 × 6371000     		do = 222.95674696757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04517989-2.04527576) × cos(-1.19716473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364998876943627 × 6371000     		du = 222.936850100897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19712974)-sin(-1.19716473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365031452688673-0.364998876943627)×R²
    abs(2.04527576-2.04517989)×3.25757450465591e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25757450465591e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25757450465591e-05×40589641000000     		ar = 49699.5879356604m²