Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54100 / 13461
↖ ↑ ↗
← N 80.580292°
W 31.409912°		 ← 49.98 m → N 80.580292°
W 31.407166°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
N 80.579842°
W 31.409912°		 ← 49.98 m →
2 496 m²		 N 80.579842°
W 31.407166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412754058837891 y=0.102703094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412754058837891 × 217)
    floor (0.412754058837891 × 131072)
    floor (54100.5)     		tx = 54100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102703094482422 × 217)
    floor (0.102703094482422 × 131072)
    floor (13461.5)     		ty = 13461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54100 / 13461 ti = "17/54100/13461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54100/13461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54100 ÷ 217
    54100 ÷ 131072     		x = 0.412750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13461 ÷ 217
    13461 ÷ 131072     		y = 0.102699279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.17449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54820638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102699279785156 × 2 - 1) × π
    0.794601440429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.49631404771442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54820638} λ = -0.54820638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49631404771442))-π/2
    2×atan(12.1376725248282)-π/2
    2×1.48859386436334-π/2
    2.97718772872669-1.57079632675     		φ = 1.40639140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54820638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.409912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40639140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.580292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54100 KachelY 13461 -0.54820638 1.40639140 -31.409912 80.580292
    Oben rechts KachelX + 1 54101 KachelY 13461 -0.54815845 1.40639140 -31.407166 80.580292
    Unten links KachelX 54100 KachelY + 1 13462 -0.54820638 1.40638356 -31.409912 80.579842
    Unten rechts KachelX + 1 54101 KachelY + 1 13462 -0.54815845 1.40638356 -31.407166 80.579842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40639140-1.40638356) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dl = 49.9486399991729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40639140-1.40638356) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dr = 49.9486399991729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54820638--0.54815845) × cos(1.40639140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163665310810966 × 6371000     		do = 49.9771715498481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54820638--0.54815845) × cos(1.40638356) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163673045090771 × 6371000     		du = 49.97953330523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40639140)-sin(1.40638356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163665310810966-0.163673045090771)×R²
    abs(-0.54815845--0.54820638)×7.73427980504948e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.73427980504948e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.73427980504948e-06×40589641000000     		ar = 2496.35073326561m²