Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54099 / 50141
↖ ↑ ↗
← S 68.586471°
E117.174683°		 ← 223.02 m → S 68.586471°
E117.180176°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 68.588476°
E117.174683°		 ← 223 m →
49 728 m²		 S 68.588476°
E117.180176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825492858886719 y=0.765098571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825492858886719 × 216)
    floor (0.825492858886719 × 65536)
    floor (54099.5)     		tx = 54099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765098571777344 × 216)
    floor (0.765098571777344 × 65536)
    floor (50141.5)     		ty = 50141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54099 / 50141 ti = "16/54099/50141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54099/50141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54099 ÷ 216
    54099 ÷ 65536     		x = 0.825485229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50141 ÷ 216
    50141 ÷ 65536     		y = 0.765090942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825485229492188 × 2 - 1) × π
    0.650970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04508401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765090942382812 × 2 - 1) × π
    -0.530181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66561551419847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04508401} λ = 2.04508401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66561551419847))-π/2
    2×atan(0.189074244276596)-π/2
    2×0.186868294680188-π/2
    0.373736589360377-1.57079632675     		φ = -1.19705974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04508401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.174683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19705974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.586471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54099 KachelY 50141 2.04508401 -1.19705974 117.174683 -68.586471
    Oben rechts KachelX + 1 54100 KachelY 50141 2.04517989 -1.19705974 117.180176 -68.586471
    Unten links KachelX 54099 KachelY + 1 50142 2.04508401 -1.19709474 117.174683 -68.588476
    Unten rechts KachelX + 1 54100 KachelY + 1 50142 2.04517989 -1.19709474 117.180176 -68.588476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19705974--1.19709474) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19705974--1.19709474) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04508401-2.04517989) × cos(-1.19705974) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365096621457396 × 6371000     		do = 223.019811560104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04508401-2.04517989) × cos(-1.19709474) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365064037296636 × 6371000     		du = 222.999907477279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19705974)-sin(-1.19709474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365096621457396-0.365064037296636)×R²
    abs(2.04517989-2.04508401)×3.2584160759408e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2584160759408e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2584160759408e-05×40589641000000     		ar = 49727.8535299672m²