Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54098 / 50114
↖ ↑ ↗
← S 68.532256°
E117.169190°		 ← 223.53 m → S 68.532256°
E117.174683°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
S 68.534266°
E117.169190°		 ← 223.51 m →
49 971 m²		 S 68.534266°
E117.174683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825477600097656 y=0.764686584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825477600097656 × 216)
    floor (0.825477600097656 × 65536)
    floor (54098.5)     		tx = 54098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764686584472656 × 216)
    floor (0.764686584472656 × 65536)
    floor (50114.5)     		ty = 50114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54098 / 50114 ti = "16/54098/50114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54098/50114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54098 ÷ 216
    54098 ÷ 65536     		x = 0.825469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50114 ÷ 216
    50114 ÷ 65536     		y = 0.764678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825469970703125 × 2 - 1) × π
    0.65093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04498814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764678955078125 × 2 - 1) × π
    -0.52935791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66302692161899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04498814} λ = 2.04498814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66302692161899))-π/2
    2×atan(0.189564314484698)-π/2
    2×0.187341407664131-π/2
    0.374682815328261-1.57079632675     		φ = -1.19611351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04498814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.169190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19611351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.532256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54098 KachelY 50114 2.04498814 -1.19611351 117.169190 -68.532256
    Oben rechts KachelX + 1 54099 KachelY 50114 2.04508401 -1.19611351 117.174683 -68.532256
    Unten links KachelX 54098 KachelY + 1 50115 2.04498814 -1.19614860 117.169190 -68.534266
    Unten rechts KachelX + 1 54099 KachelY + 1 50115 2.04508401 -1.19614860 117.174683 -68.534266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19611351--1.19614860) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dl = 223.558389999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19611351--1.19614860) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dr = 223.558389999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04498814-2.04508401) × cos(-1.19611351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365977369276647 × 6371000     		do = 223.534501250945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04498814-2.04508401) × cos(-1.19614860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36594471346393 × 6371000     		du = 223.514555479918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19611351)-sin(-1.19614860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365977369276647-0.36594471346393)×R²
    abs(2.04508401-2.04498814)×3.26558127171639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26558127171639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26558127171639e-05×40589641000000     		ar = 49970.7836920552m²