Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54098 / 18610
↖ ↑ ↗
← N 77.960437°
W 31.415405°		 ← 63.71 m → N 77.960437°
W 31.412659°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.959864°
W 31.415405°		 ← 63.71 m →
4 059 m²		 N 77.959864°
W 31.412659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412738800048828 y=0.141986846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412738800048828 × 217)
    floor (0.412738800048828 × 131072)
    floor (54098.5)     		tx = 54098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141986846923828 × 217)
    floor (0.141986846923828 × 131072)
    floor (18610.5)     		ty = 18610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54098 / 18610 ti = "17/54098/18610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54098/18610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54098 ÷ 217
    54098 ÷ 131072     		x = 0.412734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18610 ÷ 217
    18610 ÷ 131072     		y = 0.141983032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412734985351562 × 2 - 1) × π
    -0.174530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54830226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141983032226562 × 2 - 1) × π
    0.716033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24948695157076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54830226} λ = -0.54830226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24948695157076))-π/2
    2×atan(9.48286941685178)-π/2
    2×1.46573132023775-π/2
    2.9314626404755-1.57079632675     		φ = 1.36066631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54830226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.415405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36066631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.960437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54098 KachelY 18610 -0.54830226 1.36066631 -31.415405 77.960437
    Oben rechts KachelX + 1 54099 KachelY 18610 -0.54825432 1.36066631 -31.412659 77.960437
    Unten links KachelX 54098 KachelY + 1 18611 -0.54830226 1.36065631 -31.415405 77.959864
    Unten rechts KachelX + 1 54099 KachelY + 1 18611 -0.54825432 1.36065631 -31.412659 77.959864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36066631-1.36065631) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dl = 63.7100000004174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36066631-1.36065631) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dr = 63.7100000004174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54830226--0.54825432) × cos(1.36066631) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208587058528642 × 6371000     		do = 63.7078567056396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54830226--0.54825432) × cos(1.36065631) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208596838556244 × 6371000     		du = 63.7108437778073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36066631)-sin(1.36065631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208587058528642-0.208596838556244)×R²
    abs(-0.54825432--0.54830226)×9.78002760226859e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.78002760226859e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.78002760226859e-06×40589641000000     		ar = 4058.92270377821m²