Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54098 / 12314
↖ ↑ ↗
← N 81.082150°
W 31.415405°		 ← 47.35 m → N 81.082150°
W 31.412659°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
N 81.081725°
W 31.415405°		 ← 47.35 m →
2 241 m²		 N 81.081725°
W 31.412659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412738800048828 y=0.0939521789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412738800048828 × 217)
    floor (0.412738800048828 × 131072)
    floor (54098.5)     		tx = 54098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0939521789550781 × 217)
    floor (0.0939521789550781 × 131072)
    floor (12314.5)     		ty = 12314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54098 / 12314 ti = "17/54098/12314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54098/12314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54098 ÷ 217
    54098 ÷ 131072     		x = 0.412734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12314 ÷ 217
    12314 ÷ 131072     		y = 0.0939483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412734985351562 × 2 - 1) × π
    -0.174530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54830226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0939483642578125 × 2 - 1) × π
    0.812103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55129767157863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54830226} λ = -0.54830226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55129767157863))-π/2
    2×atan(12.8237339851832)-π/2
    2×1.49297341004954-π/2
    2.98594682009907-1.57079632675     		φ = 1.41515049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54830226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.415405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41515049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.082150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54098 KachelY 12314 -0.54830226 1.41515049 -31.415405 81.082150
    Oben rechts KachelX + 1 54099 KachelY 12314 -0.54825432 1.41515049 -31.412659 81.082150
    Unten links KachelX 54098 KachelY + 1 12315 -0.54830226 1.41514306 -31.415405 81.081725
    Unten rechts KachelX + 1 54099 KachelY + 1 12315 -0.54825432 1.41514306 -31.412659 81.081725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41515049-1.41514306) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dl = 47.3365300009014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41515049-1.41514306) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dr = 47.3365300009014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54830226--0.54825432) × cos(1.41515049) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.155018161250773 × 6371000     		do = 47.3465366135354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54830226--0.54825432) × cos(1.41514306) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.155025501429834 × 6371000     		du = 47.3487784931567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41515049)-sin(1.41514306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155018161250773-0.155025501429834)×R²
    abs(-0.54825432--0.54830226)×7.34017906062201e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.34017906062201e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.34017906062201e-06×40589641000000     		ar = 2241.2738121568m²