Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54097 / 50142
↖ ↑ ↗
← S 68.588476°
E117.163696°		 ← 223 m → S 68.588476°
E117.169190°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 68.590482°
E117.163696°		 ← 222.98 m →
49 723 m²		 S 68.590482°
E117.169190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825462341308594 y=0.765113830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825462341308594 × 216)
    floor (0.825462341308594 × 65536)
    floor (54097.5)     		tx = 54097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765113830566406 × 216)
    floor (0.765113830566406 × 65536)
    floor (50142.5)     		ty = 50142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54097 / 50142 ti = "16/54097/50142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54097/50142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54097 ÷ 216
    54097 ÷ 65536     		x = 0.825454711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50142 ÷ 216
    50142 ÷ 65536     		y = 0.765106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825454711914062 × 2 - 1) × π
    0.650909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04489226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.53021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66571138799771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04489226} λ = 2.04489226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66571138799771))-π/2
    2×atan(0.189056117879396)-π/2
    2×0.186850793861018-π/2
    0.373701587722036-1.57079632675     		φ = -1.19709474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04489226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.163696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19709474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.588476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54097 KachelY 50142 2.04489226 -1.19709474 117.163696 -68.588476
    Oben rechts KachelX + 1 54098 KachelY 50142 2.04498814 -1.19709474 117.169190 -68.588476
    Unten links KachelX 54097 KachelY + 1 50143 2.04489226 -1.19712974 117.163696 -68.590482
    Unten rechts KachelX + 1 54098 KachelY + 1 50143 2.04498814 -1.19712974 117.169190 -68.590482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19709474--1.19712974) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19709474--1.19712974) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04489226-2.04498814) × cos(-1.19709474) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365064037296636 × 6371000     		do = 222.999907477279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04489226-2.04498814) × cos(-1.19712974) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365031452688673 × 6371000     		du = 222.98000312128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19709474)-sin(-1.19712974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365064037296636-0.365031452688673)×R²
    abs(2.04498814-2.04489226)×3.25846079627934e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25846079627934e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25846079627934e-05×40589641000000     		ar = 49723.4151873807m²