Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54096 / 16176
↖ ↑ ↗
← N 79.278140°
W 31.420898°		 ← 56.82 m → N 79.278140°
W 31.418152°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.277630°
W 31.420898°		 ← 56.82 m →
3 226 m²		 N 79.277630°
W 31.418152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412723541259766 y=0.123416900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412723541259766 × 217)
    floor (0.412723541259766 × 131072)
    floor (54096.5)     		tx = 54096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123416900634766 × 217)
    floor (0.123416900634766 × 131072)
    floor (16176.5)     		ty = 16176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54096 / 16176 ti = "17/54096/16176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54096/16176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54096 ÷ 217
    54096 ÷ 131072     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16176 ÷ 217
    16176 ÷ 131072     		y = 0.1234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1234130859375 × 2 - 1) × π
    0.753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36616536524597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36616536524597))-π/2
    2×atan(10.6564502409408)-π/2
    2×1.47723045056014-π/2
    2.95446090112028-1.57079632675     		φ = 1.38366457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38366457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.278140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54096 KachelY 16176 -0.54839813 1.38366457 -31.420898 79.278140
    Oben rechts KachelX + 1 54097 KachelY 16176 -0.54835019 1.38366457 -31.418152 79.278140
    Unten links KachelX 54096 KachelY + 1 16177 -0.54839813 1.38365566 -31.420898 79.277630
    Unten rechts KachelX + 1 54097 KachelY + 1 16177 -0.54835019 1.38365566 -31.418152 79.277630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38366457-1.38365566) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38366457-1.38365566) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54835019) × cos(1.38366457) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186041495010273 × 6371000     		do = 56.8218612843133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54835019) × cos(1.38365566) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186050249451112 × 6371000     		du = 56.8245351158849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38366457)-sin(1.38365566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186041495010273-0.186050249451112)×R²
    abs(-0.54835019--0.54839813)×8.75444083933696e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.75444083933696e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.75444083933696e-06×40589641000000     		ar = 3225.60350806982m²