Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54096 / 13264
↖ ↑ ↗
← N 80.668436°
W 31.420898°		 ← 49.52 m → N 80.668436°
W 31.418152°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.667991°
W 31.420898°		 ← 49.53 m →
2 452 m²		 N 80.667991°
W 31.418152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412723541259766 y=0.101200103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412723541259766 × 217)
    floor (0.412723541259766 × 131072)
    floor (54096.5)     		tx = 54096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101200103759766 × 217)
    floor (0.101200103759766 × 131072)
    floor (13264.5)     		ty = 13264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54096 / 13264 ti = "17/54096/13264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54096/13264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54096 ÷ 217
    54096 ÷ 131072     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13264 ÷ 217
    13264 ÷ 131072     		y = 0.1011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1011962890625 × 2 - 1) × π
    0.797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50575761693958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50575761693958))-π/2
    2×atan(12.2528384081617)-π/2
    2×1.48936306779304-π/2
    2.97872613558607-1.57079632675     		φ = 1.40792981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40792981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.668436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54096 KachelY 13264 -0.54839813 1.40792981 -31.420898 80.668436
    Oben rechts KachelX + 1 54097 KachelY 13264 -0.54835019 1.40792981 -31.418152 80.668436
    Unten links KachelX 54096 KachelY + 1 13265 -0.54839813 1.40792204 -31.420898 80.667991
    Unten rechts KachelX + 1 54097 KachelY + 1 13265 -0.54835019 1.40792204 -31.418152 80.667991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40792981-1.40792204) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dl = 49.5026699990539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40792981-1.40792204) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dr = 49.5026699990539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54835019) × cos(1.40792981) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162147451774995 × 6371000     		do = 49.5240054475744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54835019) × cos(1.40792204) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162155118946114 × 6371000     		du = 49.526347198987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40792981)-sin(1.40792204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162147451774995-0.162155118946114)×R²
    abs(-0.54835019--0.54839813)×7.66717111863602e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.66717111863602e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.66717111863602e-06×40589641000000     		ar = 2451.62846004853m²