Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54096 / 13058
↖ ↑ ↗
← N 80.759733°
W 31.420898°		 ← 49.04 m → N 80.759733°
W 31.418152°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.759292°
W 31.420898°		 ← 49.05 m →
2 406 m²		 N 80.759292°
W 31.418152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412723541259766 y=0.0996284484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412723541259766 × 217)
    floor (0.412723541259766 × 131072)
    floor (54096.5)     		tx = 54096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996284484863281 × 217)
    floor (0.0996284484863281 × 131072)
    floor (13058.5)     		ty = 13058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54096 / 13058 ti = "17/54096/13058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54096/13058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54096 ÷ 217
    54096 ÷ 131072     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13058 ÷ 217
    13058 ÷ 131072     		y = 0.0996246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996246337890625 × 2 - 1) × π
    0.800750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51563261826131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51563261826131))-π/2
    2×atan(12.3744345967729)-π/2
    2×1.49015978258321-π/2
    2.98031956516641-1.57079632675     		φ = 1.40952324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40952324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.759733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54096 KachelY 13058 -0.54839813 1.40952324 -31.420898 80.759733
    Oben rechts KachelX + 1 54097 KachelY 13058 -0.54835019 1.40952324 -31.418152 80.759733
    Unten links KachelX 54096 KachelY + 1 13059 -0.54839813 1.40951554 -31.420898 80.759292
    Unten rechts KachelX + 1 54097 KachelY + 1 13059 -0.54835019 1.40951554 -31.418152 80.759292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40952324-1.40951554) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40952324-1.40951554) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54835019) × cos(1.40952324) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.1605749031853 × 6371000     		do = 49.04370863088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54835019) × cos(1.40951554) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160582503262702 × 6371000     		du = 49.0460298901447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40952324)-sin(1.40951554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1605749031853-0.160582503262702)×R²
    abs(-0.54835019--0.54839813)×7.60007740249757e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.60007740249757e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.60007740249757e-06×40589641000000     		ar = 2405.97943779816m²