Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54096 / 12338
↖ ↑ ↗
← N 81.071927°
W 31.420898°		 ← 47.40 m → N 81.071927°
W 31.418152°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.071500°
W 31.420898°		 ← 47.40 m →
2 247 m²		 N 81.071500°
W 31.418152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412723541259766 y=0.0941352844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412723541259766 × 217)
    floor (0.412723541259766 × 131072)
    floor (54096.5)     		tx = 54096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941352844238281 × 217)
    floor (0.0941352844238281 × 131072)
    floor (12338.5)     		ty = 12338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54096 / 12338 ti = "17/54096/12338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54096/12338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54096 ÷ 217
    54096 ÷ 131072     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12338 ÷ 217
    12338 ÷ 131072     		y = 0.0941314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0941314697265625 × 2 - 1) × π
    0.811737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55014718598775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55014718598775))-π/2
    2×atan(12.808988947615)-π/2
    2×1.49288418627618-π/2
    2.98576837255235-1.57079632675     		φ = 1.41497205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41497205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.071927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54096 KachelY 12338 -0.54839813 1.41497205 -31.420898 81.071927
    Oben rechts KachelX + 1 54097 KachelY 12338 -0.54835019 1.41497205 -31.418152 81.071927
    Unten links KachelX 54096 KachelY + 1 12339 -0.54839813 1.41496461 -31.420898 81.071500
    Unten rechts KachelX + 1 54097 KachelY + 1 12339 -0.54835019 1.41496461 -31.418152 81.071500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41497205-1.41496461) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41497205-1.41496461) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54835019) × cos(1.41497205) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.155194441731425 × 6371000     		do = 47.400377209786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54835019) × cos(1.41496461) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.155201791583667 × 6371000     		du = 47.402622043846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41497205)-sin(1.41496461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155194441731425-0.155201791583667)×R²
    abs(-0.54835019--0.54839813)×7.34985224221107e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.34985224221107e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.34985224221107e-06×40589641000000     		ar = 2246.84245876362m²