Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54095 / 12340
↖ ↑ ↗
← N 81.071074°
W 31.423645°		 ← 47.40 m → N 81.071074°
W 31.420898°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.070648°
W 31.423645°		 ← 47.41 m →
2 247 m²		 N 81.070648°
W 31.420898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412715911865234 y=0.0941505432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412715911865234 × 217)
    floor (0.412715911865234 × 131072)
    floor (54095.5)     		tx = 54095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941505432128906 × 217)
    floor (0.0941505432128906 × 131072)
    floor (12340.5)     		ty = 12340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54095 / 12340 ti = "17/54095/12340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54095/12340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54095 ÷ 217
    54095 ÷ 131072     		x = 0.412712097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12340 ÷ 217
    12340 ÷ 131072     		y = 0.094146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412712097167969 × 2 - 1) × π
    -0.174575805664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.54844607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094146728515625 × 2 - 1) × π
    0.81170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55005131218851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54844607} λ = -0.54844607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55005131218851))-π/2
    2×atan(12.807760960047)-π/2
    2×1.49287674638328-π/2
    2.98575349276657-1.57079632675     		φ = 1.41495717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54844607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.423645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41495717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.071074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54095 KachelY 12340 -0.54844607 1.41495717 -31.423645 81.071074
    Oben rechts KachelX + 1 54096 KachelY 12340 -0.54839813 1.41495717 -31.420898 81.071074
    Unten links KachelX 54095 KachelY + 1 12341 -0.54844607 1.41494973 -31.423645 81.070648
    Unten rechts KachelX + 1 54096 KachelY + 1 12341 -0.54839813 1.41494973 -31.420898 81.070648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41495717-1.41494973) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41495717-1.41494973) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54844607--0.54839813) × cos(1.41495717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155209141427318 × 6371000     		do = 47.4048668751722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54844607--0.54839813) × cos(1.41494973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155216491262378 × 6371000     		du = 47.4071117039842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41495717)-sin(1.41494973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155209141427318-0.155216491262378)×R²
    abs(-0.54839813--0.54844607)×7.34983505984443e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34983505984443e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34983505984443e-06×40589641000000     		ar = 2247.05526998287m²