Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54094 / 13294
↖ ↑ ↗
← N 80.655066°
W 31.426392°		 ← 49.59 m → N 80.655066°
W 31.423645°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
N 80.654620°
W 31.426392°		 ← 49.60 m →
2 461 m²		 N 80.654620°
W 31.423645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412708282470703 y=0.101428985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412708282470703 × 217)
    floor (0.412708282470703 × 131072)
    floor (54094.5)     		tx = 54094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101428985595703 × 217)
    floor (0.101428985595703 × 131072)
    floor (13294.5)     		ty = 13294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54094 / 13294 ti = "17/54094/13294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54094/13294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54094 ÷ 217
    54094 ÷ 131072     		x = 0.412704467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13294 ÷ 217
    13294 ÷ 131072     		y = 0.101425170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412704467773438 × 2 - 1) × π
    -0.174591064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54849401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101425170898438 × 2 - 1) × π
    0.797149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50431950995097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54849401} λ = -0.54849401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50431950995097))-π/2
    2×atan(12.2352301799095)-π/2
    2×1.48924639233536-π/2
    2.97849278467072-1.57079632675     		φ = 1.40769646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54849401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.426392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40769646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.655066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54094 KachelY 13294 -0.54849401 1.40769646 -31.426392 80.655066
    Oben rechts KachelX + 1 54095 KachelY 13294 -0.54844607 1.40769646 -31.423645 80.655066
    Unten links KachelX 54094 KachelY + 1 13295 -0.54849401 1.40768867 -31.426392 80.654620
    Unten rechts KachelX + 1 54095 KachelY + 1 13295 -0.54844607 1.40768867 -31.423645 80.654620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40769646-1.40768867) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dl = 49.6300899996942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40769646-1.40768867) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dr = 49.6300899996942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54849401--0.54844607) × cos(1.40769646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162377709330301 × 6371000     		do = 49.5943320316797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54849401--0.54844607) × cos(1.40768867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162385395941758 × 6371000     		du = 49.596679720672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40769646)-sin(1.40768867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162377709330301-0.162385395941758)×R²
    abs(-0.54844607--0.54849401)×7.68661145694738e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.68661145694738e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.68661145694738e-06×40589641000000     		ar = 2461.42942020438m²