Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54092 / 50093
↖ ↑ ↗
← S 68.489999°
E117.136230°		 ← 223.98 m → S 68.489999°
E117.141724°		 →
↑
223.94 m
↓
↑
223.94 m
↓
S 68.492013°
E117.136230°		 ← 223.96 m →
50 155 m²		 S 68.492013°
E117.141724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825386047363281 y=0.764366149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825386047363281 × 216)
    floor (0.825386047363281 × 65536)
    floor (54092.5)     		tx = 54092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764366149902344 × 216)
    floor (0.764366149902344 × 65536)
    floor (50093.5)     		ty = 50093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54092 / 50093 ti = "16/54092/50093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54092/50093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54092 ÷ 216
    54092 ÷ 65536     		x = 0.82537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50093 ÷ 216
    50093 ÷ 65536     		y = 0.764358520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82537841796875 × 2 - 1) × π
    0.6507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04441289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764358520507812 × 2 - 1) × π
    -0.528717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66101357183495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04441289} λ = 2.04441289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66101357183495))-π/2
    2×atan(0.189946358221111)-π/2
    2×0.187710173222877-π/2
    0.375420346445754-1.57079632675     		φ = -1.19537598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04441289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.136230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19537598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.489999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54092 KachelY 50093 2.04441289 -1.19537598 117.136230 -68.489999
    Oben rechts KachelX + 1 54093 KachelY 50093 2.04450877 -1.19537598 117.141724 -68.489999
    Unten links KachelX 54092 KachelY + 1 50094 2.04441289 -1.19541113 117.136230 -68.492013
    Unten rechts KachelX + 1 54093 KachelY + 1 50094 2.04450877 -1.19541113 117.141724 -68.492013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19537598--1.19541113) × R
    3.51500000002058e-05 × 6371000     		dl = 223.940650001311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19537598--1.19541113) × R
    3.51500000002058e-05 × 6371000     		dr = 223.940650001311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04441289-2.04450877) × cos(-1.19537598) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.366663632612419 × 6371000     		do = 223.977022644363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04441289-2.04450877) × cos(-1.19541113) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.366630930457641 × 6371000     		du = 223.957046484717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19537598)-sin(-1.19541113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366663632612419-0.366630930457641)×R²
    abs(2.04450877-2.04441289)×3.27021547786854e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.27021547786854e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.27021547786854e-05×40589641000000     		ar = 50155.3233045816m²