Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54091 / 50121
↖ ↑ ↗
← S 68.546324°
E117.130737°		 ← 223.39 m → S 68.546324°
E117.136230°		 →
↑
223.37 m
↓
↑
223.37 m
↓
S 68.548333°
E117.130737°		 ← 223.37 m →
49 897 m²		 S 68.548333°
E117.136230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825370788574219 y=0.764793395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825370788574219 × 216)
    floor (0.825370788574219 × 65536)
    floor (54091.5)     		tx = 54091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764793395996094 × 216)
    floor (0.764793395996094 × 65536)
    floor (50121.5)     		ty = 50121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54091 / 50121 ti = "16/54091/50121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54091/50121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54091 ÷ 216
    54091 ÷ 65536     		x = 0.825363159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50121 ÷ 216
    50121 ÷ 65536     		y = 0.764785766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825363159179688 × 2 - 1) × π
    0.650726318359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04431702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764785766601562 × 2 - 1) × π
    -0.529571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66369803821367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04431702} λ = 2.04431702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66369803821367))-π/2
    2×atan(0.189437137407585)-π/2
    2×0.187218639264848-π/2
    0.374437278529696-1.57079632675     		φ = -1.19635905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04431702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.130737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19635905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.546324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54091 KachelY 50121 2.04431702 -1.19635905 117.130737 -68.546324
    Oben rechts KachelX + 1 54092 KachelY 50121 2.04441289 -1.19635905 117.136230 -68.546324
    Unten links KachelX 54091 KachelY + 1 50122 2.04431702 -1.19639411 117.130737 -68.548333
    Unten rechts KachelX + 1 54092 KachelY + 1 50122 2.04441289 -1.19639411 117.136230 -68.548333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19635905--1.19639411) × R
    3.50599999998646e-05 × 6371000     		dl = 223.367259999138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19635905--1.19639411) × R
    3.50599999998646e-05 × 6371000     		dr = 223.367259999138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04431702-2.04441289) × cos(-1.19635905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365748852890854 × 6371000     		do = 223.394926237258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04431702-2.04441289) × cos(-1.19639411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365716221847793 × 6371000     		du = 223.374995595234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19635905)-sin(-1.19639411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365748852890854-0.365716221847793)×R²
    abs(2.04441289-2.04431702)×3.26310430601162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26310430601162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26310430601162e-05×40589641000000     		ar = 49896.8866497157m²