Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54091 / 21181
↖ ↑ ↗
← N 53.550099°
E117.130737°		 ← 362.88 m → N 53.550099°
E117.136230°		 →
↑
362.89 m
↓
↑
362.89 m
↓
N 53.546836°
E117.130737°		 ← 362.91 m →
131 692 m²		 N 53.546836°
E117.136230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825370788574219 y=0.323204040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825370788574219 × 216)
    floor (0.825370788574219 × 65536)
    floor (54091.5)     		tx = 54091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323204040527344 × 216)
    floor (0.323204040527344 × 65536)
    floor (21181.5)     		ty = 21181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54091 / 21181 ti = "16/54091/21181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54091/21181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54091 ÷ 216
    54091 ÷ 65536     		x = 0.825363159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21181 ÷ 216
    21181 ÷ 65536     		y = 0.323196411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825363159179688 × 2 - 1) × π
    0.650726318359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04431702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323196411132812 × 2 - 1) × π
    0.353607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11088971179518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04431702} λ = 2.04431702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11088971179518))-π/2
    2×atan(3.03705930022572)-π/2
    2×1.2527109372925-π/2
    2.505421874585-1.57079632675     		φ = 0.93462555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04431702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.130737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93462555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.550099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54091 KachelY 21181 2.04431702 0.93462555 117.130737 53.550099
    Oben rechts KachelX + 1 54092 KachelY 21181 2.04441289 0.93462555 117.136230 53.550099
    Unten links KachelX 54091 KachelY + 1 21182 2.04431702 0.93456859 117.130737 53.546836
    Unten rechts KachelX + 1 54092 KachelY + 1 21182 2.04441289 0.93456859 117.136230 53.546836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93462555-0.93456859) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dl = 362.892159999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93462555-0.93456859) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dr = 362.892159999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04431702-2.04441289) × cos(0.93462555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59411966686135 × 6371000     		do = 362.881026435379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04431702-2.04441289) × cos(0.93456859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59416548319245 × 6371000     		du = 362.909010490081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93462555)-sin(0.93456859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59411966686135-0.59416548319245)×R²
    abs(2.04441289-2.04431702)×4.58163311001236e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58163311001236e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58163311001236e-05×40589641000000     		ar = 131691.757138522m²