Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54091 / 16191
↖ ↑ ↗
← N 79.270473°
W 31.434632°		 ← 56.86 m → N 79.270473°
W 31.431885°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.269962°
W 31.434632°		 ← 56.86 m →
3 232 m²		 N 79.269962°
W 31.431885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412685394287109 y=0.123531341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412685394287109 × 217)
    floor (0.412685394287109 × 131072)
    floor (54091.5)     		tx = 54091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123531341552734 × 217)
    floor (0.123531341552734 × 131072)
    floor (16191.5)     		ty = 16191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54091 / 16191 ti = "17/54091/16191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54091/16191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54091 ÷ 217
    54091 ÷ 131072     		x = 0.412681579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16191 ÷ 217
    16191 ÷ 131072     		y = 0.123527526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412681579589844 × 2 - 1) × π
    -0.174636840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.54863782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123527526855469 × 2 - 1) × π
    0.752944946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.36544631175167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54863782} λ = -0.54863782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36544631175167))-π/2
    2×atan(10.6487904373925)-π/2
    2×1.47716354003497-π/2
    2.95432708006993-1.57079632675     		φ = 1.38353075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54863782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.434632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38353075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.270473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54091 KachelY 16191 -0.54863782 1.38353075 -31.434632 79.270473
    Oben rechts KachelX + 1 54092 KachelY 16191 -0.54858988 1.38353075 -31.431885 79.270473
    Unten links KachelX 54091 KachelY + 1 16192 -0.54863782 1.38352183 -31.434632 79.269962
    Unten rechts KachelX + 1 54092 KachelY + 1 16192 -0.54858988 1.38352183 -31.431885 79.269962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38353075-1.38352183) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38353075-1.38352183) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54863782--0.54858988) × cos(1.38353075) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186172977099568 × 6371000     		do = 56.862019298733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54863782--0.54858988) × cos(1.38352183) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186181741143653 × 6371000     		du = 56.864696063383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38353075)-sin(1.38352183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186172977099568-0.186181741143653)×R²
    abs(-0.54858988--0.54863782)×8.76404408489684e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.76404408489684e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.76404408489684e-06×40589641000000     		ar = 3231.50594985743m²