Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54091 / 16188
↖ ↑ ↗
← N 79.272007°
W 31.434632°		 ← 56.85 m → N 79.272007°
W 31.431885°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.271496°
W 31.434632°		 ← 56.86 m →
3 235 m²		 N 79.271496°
W 31.431885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412685394287109 y=0.123508453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412685394287109 × 217)
    floor (0.412685394287109 × 131072)
    floor (54091.5)     		tx = 54091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123508453369141 × 217)
    floor (0.123508453369141 × 131072)
    floor (16188.5)     		ty = 16188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54091 / 16188 ti = "17/54091/16188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54091/16188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54091 ÷ 217
    54091 ÷ 131072     		x = 0.412681579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16188 ÷ 217
    16188 ÷ 131072     		y = 0.123504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412681579589844 × 2 - 1) × π
    -0.174636840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.54863782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123504638671875 × 2 - 1) × π
    0.75299072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36559012245053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54863782} λ = -0.54863782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36559012245053))-π/2
    2×atan(10.6503219575092)-π/2
    2×1.477176925922-π/2
    2.95435385184399-1.57079632675     		φ = 1.38355753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54863782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.434632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38355753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.272007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54091 KachelY 16188 -0.54863782 1.38355753 -31.434632 79.272007
    Oben rechts KachelX + 1 54092 KachelY 16188 -0.54858988 1.38355753 -31.431885 79.272007
    Unten links KachelX 54091 KachelY + 1 16189 -0.54863782 1.38354860 -31.434632 79.271496
    Unten rechts KachelX + 1 54092 KachelY + 1 16189 -0.54858988 1.38354860 -31.431885 79.271496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38355753-1.38354860) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dl = 56.8930300008226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38355753-1.38354860) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dr = 56.8930300008226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54863782--0.54858988) × cos(1.38355753) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186146665227998 × 6371000     		do = 56.8539829758879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54863782--0.54858988) × cos(1.38354860) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186155439141757 × 6371000     		du = 56.8566627549903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38355753)-sin(1.38354860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186146665227998-0.186155439141757)×R²
    abs(-0.54858988--0.54863782)×8.77391375858627e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.77391375858627e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.77391375858627e-06×40589641000000     		ar = 3234.67158959773m²